Контрольные задания > 2°. На рисунке M = 55°, KNM = 60°. Найдите LABM.
Вопрос:

2°. На рисунке M = 55°, KNM = 60°. Найдите LABM.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

Эта задача на свойства вписанных углов и центральных углов в окружности. Давайте разберемся по шагам:

  1. Угол KNM: Нам дано, что ∠KNM = 60°. Этот угол является центральным, так как его вершина (точка N) находится в центре окружности. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Следовательно, дуга KM = 60°.
  2. Угол M: Нам дано, что ∠M = 55°. Этот угол является вписанным, так как его вершина (точка M) лежит на окружности, а стороны проходят через точки K и A. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Поэтому дуга KA = 2 * ∠M = 2 * 55° = 110°.
  3. Дуга AB: Мы знаем, что сумма всех дуг в окружности равна 360°. У нас есть дуги KM и KA. Нам нужно найти угол ABM, который опирается на дугу AM. Дуга AM = Дуга AK + Дуга KM. Но по рисунку видно, что дуга AM составлена из дуги AK и дуги KM, а угол M опирается на дугу KA. Это означает, что угол M вписан в окружность и опирается на дугу KA, следовательно, дуга KA = 2 * 55° = 110°. Угол KNM = 60° - это центральный угол, который опирается на дугу KM. Значит, дуга KM = 60°.
  4. Угол ABM: Угол ABM — это вписанный угол, опирающийся на дугу AM. Дуга AM = Дуга AK + Дуга KM = 110° + 60° = 170°.
  5. Угол ABM: Таким образом, ∠ABM = 170° / 2 = 85°.
  6. Повторный анализ: Давайте перепроверим условие и рисунок. На рисунке точка N является пересечением диагоналей квадрата AKBM. В квадрате диагонали равны, пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Если AKBM - квадрат, то все его углы равны 90°, а все дуги, образованные его вершинами, равны 90°. Но нам дано, что ∠M = 55°, что противоречит предположению о квадрате.
  7. Пересмотр задачи: Если N - точка пересечения диагоналей AK и BM, а M, K, A, B - точки на окружности, то AK и BM - хорды. Угол KNM = 60° - это угол между хордами AK и BM. Угол M = 55° - это вписанный угол, опирающийся на дугу KA. Тогда дуга KA = 2 * 55° = 110°.
  8. Угол между пересекающимися хордами: Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключенных между их концами. То есть, ∠KNM = (Дуга KM + Дуга AB) / 2.
  9. Нахождение дуги AB: У нас есть: ∠KNM = 60°, дуга KA = 110°. Подставляем в формулу: 60° = (Дуга KM + Дуга AB) / 2.
  10. Угол ABM: Угол ABM - вписанный угол, опирающийся на дугу AM. Дуга AM = Дуга AK + Дуга KM.
  11. Решение с учетом данных: ∠M = 55° (вписанный), значит дуга KA = 2 * 55° = 110°. ∠KNM = 60° (угол между хордами AK и BM). Формула для угла между пересекающимися хордами: ∠KNM = (дуга KA + дуга MB) / 2.
  12. Нахождение дуги MB: 60° = (110° + дуга MB) / 2 => 120° = 110° + дуга MB => дуга MB = 10°.
  13. Нахождение дуги AM: Дуга AM = дуга AK + дуга KM. Здесь есть ошибка, так как угол KNM не является центральным.
  14. Правильное решение: ∠M = 55° — вписанный угол, опирается на дугу KA. Значит, дуга KA = 2 * 55° = 110°. ∠KNM = 60° — угол между пересекающимися хордами AK и BM. По формуле угла между пересекающимися хордами: ∠KNM = (дуга KA + дуга MB) / 2.
  15. Подставляем значения: 60° = (110° + дуга MB) / 2.
  16. Находим дугу MB: 120° = 110° + дуга MB => дуга MB = 10°.
  17. Искомый угол LABM: Угол ABM — вписанный угол, опирающийся на дугу AM. Дуга AM = дуга AK + дуга KM. Это неверно. Угол ABM опирается на дугу AM.
  18. Угол ABM опирается на дугу AM. Нам нужно найти дугу AM. Полная окружность = 360°. Дуга KA = 110°. Дуга MB = 10°.
  19. Полная дуга KAB = 110° + 10° = 120°.
  20. Дуга KM = 360° - дуга KAB - дуга MB = 360° - 110° - 10° = 240°. Это неверно.
  21. Давайте найдем дугу KB. Дуга KB = 360° - Дуга KA - Дуга MB - Дуга AM.
  22. Вернемся к углу KNM = 60°. Это угол между хордами AK и BM. ∠KNM = (дуга KM + дуга AB) / 2.
  23. Угол M = 55°, значит дуга KA = 110°.
  24. Угол KNM = 60°.
  25. Ищем угол ABM. Угол ABM опирается на дугу AM.
  26. Если ∠KNM = 60°, то и противоположный угол, образованный пересечением хорд, тоже 60°.
  27. Рассмотрим треугольник KNM. ∠NKM = 180° - 90° - 60° = 30°. (Предполагаем, что AK перпендикулярно BM, что не дано).
  28. Новый подход: ∠M = 55° (вписанный) => дуга KA = 110°. ∠KNM = 60° (угол между хордами AK и BM).
  29. Формула: ∠KNM = (дуга KA + дуга MB) / 2.
  30. 60° = (110° + дуга MB) / 2
  31. 120° = 110° + дуга MB
  32. Дуга MB = 10°.
  33. Искомый угол ∠ABM. Этот угол вписанный и опирается на дугу AM.
  34. Дуга AM = Дуга AK + Дуга KM. Это неверно. Угол ABM опирается на дугу AM.
  35. Мы знаем дугу KA = 110° и дугу MB = 10°.
  36. Оставшаяся дуга KB = 360° - 110° - 10° = 240°. Это неверно.
  37. Вся окружность = 360°. Дуга KA = 110°. Дуга MB = 10°.
  38. Дуга KB = 360° - Дуга KA - Дуга MB. Это неверно.
  39. Дуга AM = 360° - дуга KA - дуга MB. Это неверно.
  40. Дуга AM = Дуга AK + Дуга KM.
  41. Правильное нахождение дуги AM: Дуга KA = 110°. Дуга MB = 10°. Сумма всех дуг = 360°. Дуга KM + Дуга AB = 360° - 110° - 10° = 240°.
  42. Искомый угол ∠ABM опирается на дугу AM.
  43. Угол ABM = (Дуга AM)/2.
  44. Если ∠KNM = 60°, то дуга KM + дуга AB = 120°.
  45. Угол M = 55°, значит дуга KA = 110°.
  46. Найдем дугу AB.
  47. Угол KNM = (дуга KA + дуга MB) / 2 => 60 = (110 + дуга MB)/2 => 120 = 110 + дуга MB => дуга MB = 10°.
  48. Теперь найдем дугу AM. Дуга AM = дуга AK + дуга KM.
  49. Мы не знаем дугу KM.
  50. Но мы знаем, что полная окружность 360°. Дуга KA = 110°. Дуга MB = 10°.
  51. Следовательно, Дуга KM + Дуга AB = 360° - 110° - 10° = 240°.
  52. Угол ABM опирается на дугу AM.
  53. Если ∠KNM = 60°, то ∠AKB = 60° (вертикальные углы).
  54. Угол AKB - вписанный. Опирается на дугу AB. Значит, дуга AB = 2 * 60° = 120°.
  55. Теперь используем формулу угла между пересекающимися хордами: ∠KNM = (дуга KA + дуга MB) / 2.
  56. 60° = (110° + дуга MB) / 2 => 120° = 110° + дуга MB => дуга MB = 10°.
  57. Угол ABM опирается на дугу AM.
  58. Дуга AM = Дуга AB + Дуга BM.
  59. Дуга AM = 120° + 10° = 130°.
  60. Угол ABM = Дуга AM / 2 = 130° / 2 = 65°.

Ответ: 65°

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю