2. На рисунке три прямые пересекаются в одной точке. ∠1 − ∠3 = ∠2. Докажите, что a ⟂ b.

Угол, вертикальный углу 1, равен ∠1. Угол между верхним лучом прямой a и диагональю равен ∠2, поскольку он вертикален отмеченному углу 2.

Углы ∠1, ∠2, ∠3 и угол, вертикальный ∠1, вместе образуют развёрнутый угол. Поэтому 2∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

По условию ∠2 = ∠1 − ∠3. Подставим:

2∠1 + (∠1 − ∠3) + ∠3 = 180°.

3∠1 = 180°, значит, ∠1 = 60° — здесь неверно учтена сумма: на рисунке развёрнутый угол составляют ∠1, угол между a и диагональю (равный ∠2), ∠3 и угол между b и нижним лучом a (равный ∠1). Следовательно, 2∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° действительно, и с данным условием получаем 3∠1 = 180°, то есть ∠1 = 60°. Однако это не доказывает перпендикулярность; условие в таком виде противоречит требуемому выводу.

Например, ∠1 = 60°, ∠3 = 30°, ∠2 = 30° удовлетворяют ∠1 − ∠3 = ∠2 и сумме углов 180°, но a и b не перпендикулярны.

Ответ: утверждение неверно для данного условия; вероятно, в условии или обозначении углов есть ошибка.