№ 2. На столе лежит доска массой M = 6 кг, на которой находится груз массой m = 3 кг. С какой максимальной горизонтальной постоянной силой можно тянуть груз, чтобы он оставался неподвижным относительно доски? Коэффициент трения между грузом и доской μ₁ = 0,5, а коэффициент трения между доской и столом μ₂ = 0,1. Сделайте схематичный рисунок с указанием сил, действующих на доску и груз. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи. g = 10 м/с².

Рассмотрим предельный случай: груз ещё не скользит по доске, а доска скользит по столу. Сила трения между грузом и доской в этом случае максимальна. Коэффициент μ₂ трактуем как коэффициент трения скольжения доски о стол.

Дано: M = 6 кг, m = 3 кг, μ₁ = 0,5, μ₂ = 0,1, g = 10 м/с².

Пусть доска и груз движутся вправо с одинаковым ускорением a. На груз действуют сила тяги F вправо и сила трения f₁ влево. По второму закону Ньютона:

F − f₁ = ma.

На доску действуют сила трения груза f₁ вправо и сила трения стола f₂ влево:

f₁ − f₂ = Ma.

При скольжении доски по столу сила трения равна f₂ = μ₂(M + m)g. Складывая уравнения для груза и доски, получаем:

F − f₂ = (M + m)a, поэтому a = (F − μ₂(M + m)g)/(M + m).

Из уравнения для груза f₁ = F − ma. Подставим выражение для ускорения:

f₁ = F − m(F − μ₂(M + m)g)/(M + m) = (MF + mμ₂(M + m)g)/(M + m).

Чтобы груз не скользил по доске, сила трения не должна превышать максимальную: f₁ ≤ μ₁mg. На пределе f₁ = μ₁mg, откуда

F = ((M + m)m g(μ₁ − μ₂))/M.

Подставим значения:

F = (9 · 3 · 10 · (0,5 − 0,1))/6 = 18 Н.

Проверка режима: при F = 18 Н ускорение системы a = (18 − 0,1 · 9 · 10)/9 = 1 м/с², а требуемая сила трения между грузом и доской f₁ = 18 − 3 · 1 = 15 Н. Это ровно μ₁mg = 0,5 · 3 · 10 = 15 Н. Следовательно, найдено предельное значение.

Схема сил (ускорение доски и груза направлено вправо):

Использованы второй закон Ньютона для каждого тела и закон сухого трения: при скольжении f₂ = μ₂N₂, а трение покоя между грузом и доской не превышает μ₁N₁. Вертикального ускорения нет, поэтому N₁ = mg и N₂ = (M + m)g. Эти законы применимы в классическом приближении для рассматриваемых тел.

Ответ: максимальная сила тяги — 18 Н.