2. На столе перпендикулярно его краю лежит однородная линейка длиной 75 см. Часть линейки свешивается со стола. К этому концу линейки подвешен груз, масса которого в 2 раза больше массы линейки. Найдите длину свешивающейся части, если вся система находится в равновесии.

Дано:

• Длина линейки (L): 75 см
• Масса груза (m2) = 2 * масса линейки (m1)
• Линейка однородная, следовательно, ее центр тяжести находится посередине.
• Система находится в равновесии.

Решение:

1. Обозначим длину свешивающейся части линейки как x.
2. Тогда длина части линейки, лежащей на столе, будет \( 75 - x \) см.
3. Рассмотрим стол как ось вращения.
4. Сила тяжести груза (F2) действует на конце свешивающейся части. Плечо этой силы относительно края стола равно x.
5. Сила тяжести линейки (F1) действует в ее центре тяжести. Так как линейка однородная, ее центр тяжести находится посередине.
7. Обозначим массу линейки как m. Тогда масса груза будет 2m.
9. Вес груза \( F_2 = 2m · g \), где g — ускорение свободного падения.
10. Вес линейки \( F_1 = m · g \).
12. Момент силы тяжести груза относительно края стола: \( M_2 = F_2 · x = 2mgx \).
14. Центр тяжести линейки находится на расстоянии \( \frac{75}{2} = 37.5 \) см от края, если бы вся линейка была на столе. Но так как часть линейки свешивается, нам нужно найти центр тяжести оставшейся на столе части.
16. Рассмотрим равновесие. Условие равновесия: момент силы тяжести груза равен моменту силы тяжести той части линейки, которая лежит на столе, относительно края стола.
18. Так как центр тяжести всей линейки находится посередине (37.5 см от начала), а край стола находится где-то между 37.5 см и 75 см.
20. Пусть точка опоры (край стола) находится на расстоянии \( l \) от начала линейки. Тогда свешивающаяся часть имеет длину \( x = 75 - l \).
22. Груз находится на расстоянии \( x \) от края стола. Его плечо равно \( x \).
24. Центр тяжести линейки находится на расстоянии \( 37.5 \) см от начала. Расстояние от края стола до центра тяжести линейки равно \( l - 37.5 \).
26. Условие равновесия: \( F_2 · x = F_1 · (l - 37.5) \)
27. \( 2mg · x = mg · (l - 37.5) \)
28. \( 2x = l - 37.5 \)
29. Подставляем \( l = 75 - x \):
30. \( 2x = (75 - x) - 37.5 \)
31. \( 2x = 37.5 - x \)
32. \( 3x = 37.5 \)
33. \( x = \frac{37.5}{3} = 12.5 \) см.

Ответ: 12.5 см