2. На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты соответственно точки D и E так, что длина отрезка DE равна 5 см и \(\frac{BD}{DA}=\frac{2}{3}\). Плоскость α проходит через точки B и C и параллельна отрезку DE. Найдите длину отрезка BC.

Из отношения \(\frac{BD}{DA}=\frac{2}{3}\) следует, что AB состоит из 2 + 3 = 5 равных частей, а AD — из 3 таких частей. Следовательно, \(\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}\).

Плоскость, содержащая треугольник ABC, пересекает плоскость α по прямой BC. Так как DE параллелен плоскости α, а DE лежит в плоскости треугольника ABC, получаем DE ∥ BC. Поэтому треугольники ADE и ABC подобны, и \(\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}\).

Подставим DE = 5 см: \(\frac{5}{BC}=\frac{3}{5}\), откуда \(BC=\frac{25}{3}=8\frac{1}{3}\) см.

Ответ: \(8\frac{1}{3}\) см.