№2. На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD отмечены точки M и N так, что AM = MB, AN:ND = 3:4. Выразите векторы \(\overrightarrow{CM}\), \(\overrightarrow{CN}\), \(\overrightarrow{MN}\) через векторы \(\vec{x}=\overrightarrow{CB}\) и \(\vec{y}=\overrightarrow{CD}\).

Положим начало координат в точке C. Тогда радиус-векторы точек B и D равны \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\), а точка A имеет радиус-вектор \(\vec{x}+\vec{y}\).

1. M — середина AB, поэтому \(\overrightarrow{CM}=\frac{(\vec{x}+\vec{y})+\vec{x}}{2}=\vec{x}+\frac{1}{2}\vec{y}\).
2. Точка N делит AD в отношении 3:4, значит \(\overrightarrow{AN}=\frac{3}{7}\overrightarrow{AD}=-\frac{3}{7}\vec{x}\). Следовательно, \(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}=\vec{x}+\vec{y}-\frac{3}{7}\vec{x}=\frac{4}{7}\vec{x}+\vec{y}\).
3. \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{CN}-\overrightarrow{CM}=\left(\frac{4}{7}-1\right)\vec{x}+\left(1-\frac{1}{2}\right)\vec{y}=-\frac{3}{7}\vec{x}+\frac{1}{2}\vec{y}\).

Ответ: \(\overrightarrow{CM}=\vec{x}+\frac{1}{2}\vec{y}\), \(\overrightarrow{CN}=\frac{4}{7}\vec{x}+\vec{y}\), \(\overrightarrow{MN}=-\frac{3}{7}\vec{x}+\frac{1}{2}\vec{y}\).