2. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взять соответственно точки M и N так, что M — середина BC, CN:ND = 1:3. Выразите векторы AM, AN и MN через векторы AB и AD.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Обозначим \(\vec{AB}=\vec u\), \(\vec{AD}=\vec v\). Тогда \(\vec{BC}=\vec v\), а \(\vec{CD}=-\vec u\).

Так как M — середина BC, \(\vec{BM}=\frac12\vec v\). Поэтому \(\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{BM}=\vec u+\frac12\vec v\).
Из условия \(CN:ND=1:3\) следует, что N делит CD в отношении 1:3 от C к D, поэтому \(\vec{CN}=\frac14\vec{CD}=-\frac14\vec u\). Значит, \(\vec{AN}=\vec{AC}+\vec{CN}=(\vec u+\vec v)-\frac14\vec u=\frac34\vec u+\vec v\).
\(\vec{MN}=\vec{AN}-\vec{AM}=\left(\frac34\vec u+\vec v\right)-\left(\vec u+\frac12\vec v\right)=-\frac14\vec u+\frac12\vec v\).

Ответ: \(\vec{AM}=\vec{AB}+\frac12\vec{AD}\), \(\vec{AN}=\frac34\vec{AB}+\vec{AD}\), \(\vec{MN}=-\frac14\vec{AB}+\frac12\vec{AD}\).