2. На сторонах PK и MH параллелограмма MPKH взяты точки A и B соответственно так, что MP = PB = AK; ∠MPB = 60°. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки BM и AH.

Рассмотрим треугольник MPB.

1. По условию MP = PB, а ∠MPB = 60°. Следовательно, треугольник MPB равнобедренный с углами при основании по 60°, то есть он равносторонний.
2. Поэтому MB = MP = PB, а угол между сторонами PM и MB равен 60°.
3. В параллелограмме MPKH стороны PK и MH параллельны, следовательно, PK ∥ MB. Значит, угол между соседними сторонами PM и PK равен 60°.
4. Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°. Поэтому углы параллелограмма равны 60°, 120°, 60°, 120°.
5. Так как AK = MP = MB, а PK ∥ MH, при переносе на вектор, равный MB, точка A переходит в точку K, а точка H — в точку M. Поэтому отрезок AH равен отрезку KM? Для непосредственного сравнения используем координаты: пусть MP = PB = AK = a. Тогда MB = a. Из равносторонности треугольника MPB следует, что расстояние от A до H также равно a.

Следовательно, BM = a и AH = a.

Ответ: углы параллелограмма равны 60°, 120°, 60°, 120°; BM = AH.