2. На сторонах ВС и AD параллелограмма ABCD взяты точки M и K, AB = BM = KD, ∠AMB = 30°. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки AM и CK.

Обозначим сторону параллелограмма AB = a. По условию BM = KD = a. Так как BM лежит на стороне BC, то BC = BM + MC = a + MC. В параллелограмме BC = AD, а KD = a, поэтому AK = AD − KD = MC.

В треугольнике ABM равны стороны AB и BM, а угол между ними равен 30°. Следовательно, треугольник равнобедренный, и его углы при основании равны:

∠BAM = ∠AMB = 30°, поэтому ∠ABM = 120°.

Угол параллелограмма при вершине B равен ∠ABC = 180° − 30° = 150°, поскольку лучи BM и BC совпадают, а угол ∠ABM между лучами BA и BM — внешний к внутреннему углу параллелограмма. Тогда соседний угол равен 30°.

Для сравнения отрезков рассмотрим треугольники ABM и DKC. Имеем AB = DK, BM = KD по условию, а угол между AB и BM равен 30°. Однако длина CK зависит от положения K относительно A и D; из данных условия равенство или конкретное сравнение AM и CK не следует однозначно. В частности, ∠AMB = 30° и равенство AB = BM задают AM = a√(2 − √3), тогда как CK зависит от длины стороны AD, которая не задана.

Ответ: углы параллелограмма равны 30° и 150°; сравнить AM и CK однозначно нельзя — недостаточно данных о длине стороны AD (или положения точек M и K).