2. На стороне AC треугольника ABC отмечены точки D и E так, что AD=CE. Докажите, что если BD=BE, то AB=BC.

Дано: точки D и E лежат на стороне AC; \(AD=CE\); \(BD=BE\).

Доказать: \(AB=BC\).

Решение:

1. Пусть O — середина отрезка AC. Из равенства \(AD=CE\) следует, что точки D и E расположены симметрично относительно середины O отрезка AC. Поэтому O является также серединой отрезка DE.
2. Из равенства \(BD=BE\) следует, что точка B равноудалена от концов отрезка DE. Значит, B лежит на серединном перпендикуляре к DE.
3. Так как отрезки DE и AC лежат на одной прямой, серединный перпендикуляр к DE является также серединным перпендикуляром к AC.
4. Следовательно, точка B лежит на серединном перпендикуляре к AC. Поэтому она равноудалена от точек A и C:

\[AB=BC.\]

Рисунок:

Ответ: \(AB=BC\).