2. На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка M так, что AB = BM. Докажите: а) что луч AM — биссектриса угла BAD; б) найдите периметр параллелограмма, если CD = 8 см, CM = 4 см.

а) Так как ABCD — параллелограмм, то AB ∥ CD и BC ∥ AD. Точка M лежит на стороне BC, поэтому BM ∥ AD.

По условию AB = BM, значит треугольник ABM равнобедренный с основанием AM. Следовательно, углы при основании равны: ∠BAM = ∠AMB.

Поскольку BM ∥ AD, а AM — секущая, ∠AMB = ∠MAD. Значит, ∠BAM = ∠MAD, то есть луч AM делит угол BAD пополам.

б) В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AB = CD = 8 см. Из AB = BM следует BM = 8 см. Так как M лежит на стороне BC, имеем BC = BM + CM = 8 + 4 = 12 см.

Периметр: P = 2(AB + BC) = 2(8 + 12) = 40 см.

Ответ: а) луч AM — биссектриса угла BAD; б) 40 см.