2). На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P такая, что CP = PD; O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{BO}\), \(\overrightarrow{BP}\), \(\overrightarrow{PA}\) через векторы \(\vec{x}=\overrightarrow{BA}\) и \(\vec{y}=\overrightarrow{BC}\).

Положим точку B за начало отсчёта. Тогда радиус-векторы вершин задаются так: \(\overrightarrow{BA}=\vec{x}\), \(\overrightarrow{BC}=\vec{y}\), а для квадрата \(\overrightarrow{BD}=\vec{x}+\vec{y}\).

1. Точка O — середина диагонали BD, поэтому

   \[\overrightarrow{BO}=\frac12\overrightarrow{BD}=\frac12(\vec{x}+\vec{y}).\]

2. Точка P — середина CD. Следовательно, её радиус-вектор равен среднему радиус-векторов C и D:

   \[\overrightarrow{BP}=\frac12(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD})=\frac12(\vec{y}+\vec{x}+\vec{y})=\frac12\vec{x}+\vec{y}.\]

3. Вектор из P в A — разность радиус-векторов A и P:

   \[\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BP}=\vec{x}-\left(\frac12\vec{x}+\vec{y}\right)=\frac12\vec{x}-\vec{y}.\]

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec{x}+\vec{y})\), \(\overrightarrow{BP}=\frac12\vec{x}+\vec{y}\), \(\overrightarrow{PA}=\frac12\vec{x}-\vec{y}\).