2. На стороне LM треугольника KLM отмечена точка P так, что KL = LP. Биссектриса угла KLM пересекает прямую KP в точке [буква неразборчива]. Из точки M на прямую KP опущен перпендикуляр ME. а) Докажите, что KL = LE = KF. б) Найдите отношение площадей треугольника KLM и четырёхугольника MPFE, если LP:PM = 3:5.

В условии на фотографии неоднозначно читаются названия точек: в пункте 2а последняя точка записана как E или F, а в пункте 2б четырёхугольник читается как MPFE или MPGE. Поэтому ниже приведено решение для наиболее вероятного прочтения: биссектриса пересекает KP в точке F, а перпендикуляр из M имеет основание E.

Пусть \(LP=KL=a\). Так как \(LP:PM=3:5\), то \(LM=LP+PM=\frac{8}{3}a\).

Обозначим половину угла KLM через \(\alpha\). Введём координаты с вершиной L в начале координат, а биссектрисой угла KLM — осью абсцисс:

\(K=(a\cos\alpha,a\sin\alpha)\), \(P=(a\cos\alpha,-a\sin\alpha)\), \(M=(\frac83a\cos\alpha,-\frac83a\sin\alpha)\).

Точка F — пересечение KP с биссектрисой, поэтому \(F=(a\cos\alpha,0)\). Точка E — основание перпендикуляра из M на KP, поэтому \(E=(a\cos\alpha,-\frac83a\sin\alpha)\).

Площадь треугольника KLM:

\[S_{KLM}=\frac12\cdot KL\cdot LM\cdot\sin 2\alpha=\frac12\cdot a\cdot\frac83a\cdot 2\sin\alpha\cos\alpha=\frac83a^2\sin\alpha\cos\alpha.\]

Площадь четырёхугольника MPFE равна:

\[S_{MPFE}=\frac12\left(\frac83a-a\right)^2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{25}{18}a^2\sin\alpha\cos\alpha.\]

Следовательно,

\[\frac{S_{KLM}}{S_{MPFE}}=\frac{\frac83}{\frac{25}{18}}=\frac{48}{25}.\]

Ответ: \(S_{KLM}:S_{MPFE}=48:25\).