2. На заводе по производству деталей для посудомоечных машин 5 % произведённых деталей имеют дефект. Система контроля качества выявляет 89 % деталей с дефектом. Построй дерево этого случайного эксперимента. Найди вероятность того, что очередная произведённая деталь попадёт в продажу. (Ответ округли до сотых.)

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно построить дерево вероятностей и рассчитать итоговую вероятность.

Этап 1: Производство детали

• Пусть 'Д' — событие, что деталь имеет дефект. $$ P(Д) = 5 \% = 0.05 $$.
• Пусть 'Б' — событие, что деталь без дефекта. $$ P(Б) = 1 - P(Д) = 1 - 0.05 = 0.95 $$.

Этап 2: Контроль качества

• Пусть 'ВД' — событие, что система контроля качества выявила дефект.
• Пусть 'НВД' — событие, что система контроля качества НЕ выявила дефект.

Данные по контролю качества:

• Вероятность выявления дефекта, если он есть: $$ P(ВД | Д) = 89 \% = 0.89 $$.
• Следовательно, вероятность НЕ выявления дефекта, если он есть: $$ P(НВД | Д) = 1 - 0.89 = 0.11 $$.
• В условии не указано, как система контроля качества работает с деталями без дефекта. Будем считать, что если деталь без дефекта, то система контроля качества её пропускает (т.е. не выявляет дефект). То есть, $$ P(НВД | Б) = 1 $$.
• Следовательно, вероятность того, что система контроля качества ошибочно выявит дефект у детали без дефекта, равна $$ P(ВД | Б) = 1 - P(НВД | Б) = 1 - 1 = 0 $$.

Дерево случайного эксперимента:

Теперь построим дерево вероятностей, учитывая, что деталь попадает в продажу, только если она без дефекта и контроль качества её пропустил.

1. Исход 1: Деталь с дефектом, дефект выявлен.
   Вероятность: $$ P(Д \text{ и } ВД) = P(Д) \times P(ВД | Д) = 0.05 \times 0.89 = 0.0445 $$. Такая деталь в продажу НЕ идёт.
2. Исход 2: Деталь с дефектом, дефект НЕ выявлен.
   Вероятность: $$ P(Д \text{ и } НВД) = P(Д) \times P(НВД | Д) = 0.05 \times 0.11 = 0.0055 $$. Такая деталь (с дефектом, но непроверенная) может попасть в продажу.
3. Исход 3: Деталь без дефекта, дефект выявлен.
   Вероятность: $$ P(Б \text{ и } ВД) = P(Б) \times P(ВД | Б) = 0.95 \times 0 = 0 $$. Такая деталь в продажу НЕ идёт (ошибочно).
4. Исход 4: Деталь без дефекта, дефект НЕ выявлен.
   Вероятность: $$ P(Б \text{ и } НВД) = P(Б) \times P(НВД | Б) = 0.95 \times 1 = 0.95 $$. Такая деталь в продажу ИДЁТ.

Вероятность попадания детали в продажу:

Деталь попадёт в продажу, если она либо без дефекта и была пропущена контролем (Исход 4), либо если она имеет дефект, но этот дефект не был выявлен (Исход 2). Однако, стандартная практика — продавать только детали, признанные качественными. Это означает, что деталь идёт в продажу, только если она без дефекта И контроль качества её пропустил.

Поэтому, вероятность того, что деталь попадёт в продажу, соответствует вероятности Исхода 4.

\[ P(\text{продажа}) = P(Б \text{ и } НВД) = 0.95 \]

Если же считать, что в продажу могут попасть детали, которые прошли контроль (вне зависимости от того, есть у них дефект или нет), то это было бы $$ P(\text{прошла контроль}) = P(Б \text{ и } НВД) + P(Д \text{ и } ВД) = 0.95 + 0.0445 = 0.9945 $$. Но, как правило, в продажу идут только детали, признанные годными.

Мы округлим результат до сотых.

Ответ: 0.95