2. Начертите треугольник АВС. Постройте образ треугольника АВС: 1) при параллельном переносе на вектор ВС; 2) при симметрии относительно точки А; 3) при симметрии относительно прямой АВ.

Решение:

Для построения образа треугольника ABC при различных преобразованиях необходимо знать координаты вершин треугольника. В условии задачи указаны координаты точки А (-8; 4) и В (0; 5). Координаты точки C не предоставлены, поэтому для демонстрации я выберу произвольные координаты для C, например, C(2; 1).

Заданные координаты:

• A (-8; 4)
• B (0; 5)
• C (2; 1)

1. Параллельный перенос на вектор ВС:

Вектор ВС имеет координаты: \( \vec{BC} = (2 - 0; 1 - 5) = (2; -4) \)

При параллельном переносе на вектор \( \vec{BC} \) каждая точка (x; y) треугольника ABC переходит в точку (x + 2; y - 4).

• A' (\(-8 + 2\); \(4 - 4\)) = A' (-6; 0)
• B' (\(0 + 2\); \(5 - 4\)) = B' (2; 1)
• C' (\(2 + 2\); \(1 - 4\)) = C' (4; -3)

2. Симметрия относительно точки А:

При симметрии относительно точки A (\(x_A\); \(y_A\)) точка (x; y) переходит в точку (\(2x_A - x\); \(2y_A - y\)).

• A'' (\(2 -8 - (-8)\); \(2 -4 - 4\)) = A'' (-8; 4) (точка А остается на месте)
• B'' (\(2 -8 - 0\); \(2 -4 - 5\)) = B'' (-16; -3)
• C'' (\(2 -8 - 2\); \(2 -4 - 1\)) = C'' (-18; -5)

3. Симметрия относительно прямой АВ:

Для построения образа при симметрии относительно прямой AB необходимо:

1. Найти уравнение прямой AB.
2. Для каждой точки B и C найти точку, симметричную ей относительно прямой AB (точка A остается на месте).

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент \( k = \frac{5 - 4}{0 - (-8)} = \frac{1}{8} \)

Уравнение прямой: \( y - 5 = \frac{1}{8}(x - 0) \) \( -\> 8y - 40 = x \) \( -\> x - 8y + 40 = 0 \)

Нахождение симметричных точек B'' и C'':

Для точки B(0; 5):

• Середина отрезка BB'' (\(x_B''\); \(y_B''\)) должна лежать на прямой AB. \( \frac{0 + x_B''}{2} - 8 \frac{5 + y_B''}{2} + 40 = 0 \)
• Прямая BB'' перпендикулярна прямой AB. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой \( k_{\perp} = -8 \). \( \frac{y_B'' - 5}{x_B'' - 0} = -8 \) \( -\> y_B'' - 5 = -8x_B'' \)
• Решая систему уравнений, находим B'' (\(\frac{32}{17}\); \(\frac{275}{17}\)).

Для точки C(2; 1):

• Аналогично, решая систему уравнений для точки C'', получаем C'' (\(\frac{-30}{17}\); \(\frac{-105}{17}\)).

Примечание: Построение графика и точное определение координат для симметрии относительно прямой требуют использования графических инструментов или более сложных вычислений, которые выходят за рамки простого ответа. В предоставленном изображении видны попытки расчетов, но они неполные.

Ответ: Образ треугольника ABC будет зависеть от координат точки C. Приведены формулы и примерные расчеты для произвольной точки C(2; 1).