2. Написать уравнение касательной к графику функции: $$y = \sqrt{x} + x, x_0 = 4$$

Напишем уравнение касательной к графику функции \( y = \sqrt{x} + x \) в точке \( x_0 = 4 \):

1. Найдём значение функции в точке \( x_0 = 4 \):
   \( y(4) = \sqrt{4} + 4 = 2 + 4 = 6 \). Таким образом, точка касания имеет координаты \( (4, 6) \).
2. Найдём производную функции:
   \( y' = (\sqrt{x} + x)' = (x^{1/2} + x)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} + 1 = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1 \).
3. Найдём значение производной в точке \( x_0 = 4 \) (это угловой коэффициент касательной):
   \( y'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} + 1 = \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} \).
4. Используем уравнение касательной в виде \( y - y_0 = k(x - x_0) \), где \( k = y'(x_0) \):
   \( y - 6 = \frac{5}{4}(x - 4) \)
   \( y - 6 = \frac{5}{4}x - 5 \)
   \( y = \frac{5}{4}x - 5 + 6 \)
   \( y = \frac{5}{4}x + 1 \)

Ответ: \( y = \frac{5}{4}x + 1 \).