2. Напишите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = 0, x = \( \frac{\pi}{2} \), y = cos x.

Решение:

Для нахождения объёма тела, полученного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, используем формулу:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \]

В данном случае:

• Функция \( f(x) = \cos x \)
• Пределы интегрирования: \( a = 0 \), \( b = \frac{\pi}{2} \)

Подставляем значения в формулу:

\[ V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x)^2 dx \]

Используем тригонометрическое тождество \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \):

\[ V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2x)}{2} dx \]

Выносим константу \( \frac{\pi}{2} \) за знак интеграла:

\[ V = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(2x)) dx \]

Интегрируем:

\[ V = \frac{\pi}{2} \left[ x + \frac{1}{2} \sin(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \]

Подставляем пределы интегрирования:

\[ V = \frac{\pi}{2} \left( \left( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) \right) - \left( 0 + \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 0) \right) \right) \]

Вычисляем значения синуса:

\[ V = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin(\pi) - \frac{1}{2} \sin(0) \right) \]

Так как \( \sin(\pi) = 0 \) и \( \sin(0) = 0 \):

\[ V = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 0 - 0 \right) \]

Упрощаем:

\[ V = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4} \]Объем тела равен \( \frac{\pi^2}{4} \) кубических единиц.

Ответ: V = \( \frac{\pi^2}{4} \) (куб. ед.).