№2. Найдите AB, AD

Решение:

В прямоугольном \( \triangle ABC \):

\( \angle A = 45^{\circ} \), \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

Следовательно, \( \angle ABC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Так как \( \angle A = \angle ABC \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный прямоугольный треугольник.

\( BC = AC \).

В прямоугольном \( \triangle ADC \):

\( \angle ADC = 90^{\circ} \), \( \angle A = 45^{\circ} \).

Следовательно, \( \angle ACD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Так как \( \angle A = \angle ACD \), то \( \triangle ADC \) — равнобедренный прямоугольный треугольник.

\( AD = CD \).

Нам дано \( CD = 4 \) см.

Значит, \( AD = 4 \) см.

В \( \triangle ADC \):

\( AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \) см.

Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный прямоугольный треугольник, то \( BC = AC = 4\sqrt{2} \) см.

В \( \triangle ABC \):

\( AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{32 + 32} = \sqrt{64} = 8 \) см.

Ответ: \( AB = 8 \) см, \( AD = 4 \) см.