2. Найдите эквивалентное сопротивление участка, если R = 2 Ом.

Решение:

Для нахождения эквивалентного сопротивления участка, рассмотрим схему:

Верхняя ветвь от A до C содержит два последовательных резистора сопротивлением \( R \) и \( 0.75R \). Их общее сопротивление: \( R_{AC,top} = R + 0.75R = 1.75R \).

Нижняя ветвь от B до D содержит два последовательных резистора сопротивлением \( R \) и \( 1.5R \). Их общее сопротивление: \( R_{BD,bottom} = R + 1.5R = 2.5R \).

Резистор между A и B имеет сопротивление \( R \). Резистор между C и D имеет сопротивление \( R \). Эти два резистора включены параллельно между узлами AB и CD соответственно.

Теперь рассмотрим ветвь от A до E. Резистор между A и B равен \( R \). Резистор между B и D равен \( 1.5R \). Резистор между D и F равен \( R \).

Резистор между A и C равен \( 0.75R \). Резистор между C и E равен \( R \).

В задаче представлен мост Уитстона. Сначала упростим верхнюю и нижнюю ветви.

Сопротивление верхней ветви от A до E: \( R_{AE,top} = R + 0.75R + R = 2.75R \).

Сопротивление нижней ветви от B до F: \( R_{BF,bottom} = R + 1.5R + R = 3.5R \).

Резистор между A и B равен \( R \). Резистор между C и D равен \( R \).

Между точками A и B, между точками C и D есть вертикальные резисторы сопротивлением \( R \) и \( R \) соответственно.

Схема представляет собой мостовую схему. Для начала проверим условие равновесия моста. Соотношение сопротивлений в плечах моста: \( \frac{R_{AB}}{R_{AC}} = \frac{R}{0.75R} = \frac{4}{3} \). Соотношение сопротивлений в других плечах: \( \frac{R_{BD}}{R_{CE}} = \frac{1.5R}{R} = \frac{3}{2} \). Так как \( \frac{4}{3} \neq \frac{3}{2} \), мост не сбалансирован.

Поэтому, для решения нужно использовать метод преобразования треугольника в звезду или метод узловых потенциалов.

Рассмотрим преобразование треугольника BCD в звезду.

Сопротивления между точками B, C, D:

\( R_{BC} = R \)

\( R_{CD} = R \)

\( R_{BD} = 1.5R \)

Сопротивления звезды BC'D:

\( R_{BC'} = \frac{R_{BC} \cdot R_{BD}}{R_{BC} + R_{CD} + R_{BD}} = \frac{R \cdot 1.5R}{R + R + 1.5R} = \frac{1.5R^2}{3.5R} = \frac{1.5}{3.5}R = \frac{3}{7}R \)

\( R_{CD'} = \frac{R_{CD} \cdot R_{BD}}{R_{BC} + R_{CD} + R_{BD}} = \frac{R \cdot 1.5R}{R + R + 1.5R} = \frac{1.5R^2}{3.5R} = \frac{3}{7}R \)

\( R_{BD'} = \frac{R_{BC} \cdot R_{CD}}{R_{BC} + R_{CD} + R_{BD}} = \frac{R \cdot R}{R + R + 1.5R} = \frac{R^2}{3.5R} = \frac{1}{3.5}R = \frac{2}{7}R \)

Теперь схема состоит из:

Верхняя ветвь: \( R \) (AB) + \( 0.75R \) (AC) + \( R \) (CE)

Нижняя ветвь: \( R \) (AB) + \( \frac{2}{7}R \) (BD') + \( R \) (DF)

Центральная часть: \( \frac{3}{7}R \) (BC') + \( \frac{3}{7}R \) (CD')

Это не совсем корректное применение преобразования.

Лучше использовать преобразование треугольника ABC в звезду.

Резисторы: \( R_{AB} = R \), \( R_{AC} = 0.75R \), \( R_{BC} = R \).

Сопротивления звезды AB'C:

\( R_{AB'} = \frac{R_{AB} · R_{AC}}{R_{AB} + R_{AC} + R_{BC}} = \frac{R · 0.75R}{R + 0.75R + R} = \frac{0.75R^2}{2.75R} = \frac{0.75}{2.75}R = \frac{3}{11}R \)

\( R_{AC'} = \frac{R_{AC} · R_{BC}}{R_{AB} + R_{AC} + R_{BC}} = \frac{0.75R · R}{R + 0.75R + R} = \frac{0.75R^2}{2.75R} = \frac{3}{11}R \)

\( R_{BB'} = \frac{R_{AB} · R_{BC}}{R_{AB} + R_{AC} + R_{BC}} = \frac{R · R}{R + 0.75R + R} = \frac{R^2}{2.75R} = \frac{1}{2.75}R = \frac{4}{11}R \)

Теперь схема выглядит так:

Между A и B': \( R_{AB'} = \frac{3}{11}R \)

Между A и C': \( R_{AC'} = \frac{3}{11}R \)

Между B и B': \( R_{BB'} = \frac{4}{11}R \)

Из C': последовательно \( R_{CD} = R \) и \( R_{DF} = R \). Итого \( R_{C'D} = R + R = 2R \).

Из B': последовательно \( R_{BD} = 1.5R \) и \( R_{DF} = R \). Итого \( R_{B'F} = 1.5R + R = 2.5R \).

Это всё ещё не упрощает.

Применим метод симметрии. Если рассматривать схему как симметричную относительно горизонтальной оси, то потенциалы точек B и D были бы равны, если бы верхняя и нижняя ветви были одинаковыми. Но они разные.

Рассмотрим преобразование треугольника ACD в звезду:

\( R_{AC} = 0.75R \), \( R_{CD} = R \), \( R_{AD} \)- такого резистора нет.

Используем метод узловых потенциалов. Пусть потенциал точки, откуда входит ток, равен \( V_1 \), а точки, откуда выходит ток, равен \( V_2 \).

Введем узлы: A, B, C, D, E, F.

Обозначим точки входа и выхода как A и F.

Потенциалы: \( V_A, V_B, V_C, V_D, V_E, V_F \).

Запишем уравнения Кирхгофа для узлов.

Рассмотрим схему как мост. Если бы мост был сбалансирован, то сопротивление между A и C, B и D было бы равно 0.

Применим преобразование треугольника BCD в звезду. Точка соединения звезды назовем O.

\( R_{BO} = \frac{R_{BC} R_{BD}}{R_{BC} + R_{CD} + R_{BD}} = \frac{R · 1.5R}{R + R + 1.5R} = \frac{1.5R^2}{3.5R} = \frac{3}{7}R \)

\( R_{CO} = \frac{R_{BC} R_{CD}}{R_{BC} + R_{CD} + R_{BD}} = \frac{R · R}{R + R + 1.5R} = \frac{R^2}{3.5R} = \frac{2}{7}R \)

\( R_{DO} = \frac{R_{CD} R_{BD}}{R_{BC} + R_{CD} + R_{BD}} = \frac{R · 1.5R}{R + R + 1.5R} = \frac{1.5R^2}{3.5R} = \frac{3}{7}R \)

Теперь схема такая:

От A к B: \( R_{AB} = R \)

От A к O (через C): \( R_{AO(C)} = R_{AC} + R_{CO} = 0.75R + \frac{2}{7}R = (\frac{3}{4} + \frac{2}{7})R = (\frac{21+8}{28})R = \frac{29}{28}R \)

От B к O: \( R_{BO} = \frac{3}{7}R \)

От O к D: \( R_{OD} = \frac{3}{7}R \)

От D к F: \( R_{DF} = R \)

Между A и O (через B): \( R_{AO(B)} = R_{AB} + R_{BO} = R + \frac{3}{7}R = \frac{10}{7}R \)

Теперь у нас две ветви между A и O:

Ветвь 1: \( R_{AO(C)} = \frac{29}{28}R \)

Ветвь 2: \( R_{AO(B)} = \frac{10}{7}R = \frac{40}{28}R \)

Эти две ветви параллельны. Их эквивалентное сопротивление \( R_{AO} \):

\( R_{AO} = \frac{R_{AO(C)} · R_{AO(B)}}{R_{AO(C)} + R_{AO(B)}} = \frac{\frac{29}{28}R · \frac{40}{28}R}{\frac{29}{28}R + \frac{40}{28}R} = \frac{\frac{29 · 40}{28^2}R^2}{\frac{69}{28}R} = \frac{29 · 40}{28 · 69}R = \frac{29 · 10}{7 · 69}R = \frac{290}{483}R \)

Теперь у нас есть последовательное соединение \( R_{AO} \), \( R_{OD} \) и \( R_{DF} \):

\( R_{eq} = R_{AO} + R_{OD} + R_{DF} = \frac{290}{483}R + \frac{3}{7}R + R \)

\( R_{eq} = \frac{290}{483}R + \frac{3 · 69}{7 · 69}R + \frac{483}{483}R = \frac{290}{483}R + \frac{207}{483}R + \frac{483}{483}R = \frac{290 + 207 + 483}{483}R = \frac{980}{483}R \)

Сократим дробь 980/483. Делится ли на 7? 980/7 = 140. 483/7 = 69. Да.

\( R_{eq} = \frac{140}{69}R \)

Подставим \( R = 2 \) Ом:

\( R_{eq} = \frac{140}{69} · 2 = \frac{280}{69} \) Ом.

Приблизительно \( 280 / 69 ≈ 4.058 \) Ом.

Проверим альтернативный способ. Преобразуем треугольник ACD в звезду.

\( R_{AC} = 0.75R = \frac{3}{4}R \), \( R_{CD} = R \), \( R_{AD} = R_{AE} = R + 0.75R + R = 2.75R \) - это не треугольник.

Преобразуем треугольник ABE в звезду.

\( R_{AB} = R \), \( R_{AE} = 2.75R \), \( R_{BE} \)- нет такого соединения.

Преобразуем треугольник ACE в звезду.

\( R_{AC} = 0.75R \), \( R_{AE} = 2.75R \), \( R_{CE} = R \).

\( R_{AC'} = \frac{R_{AC} R_{AE}}{R_{AC} + R_{CE} + R_{AE}} = \frac{0.75R · 2.75R}{0.75R + R + 2.75R} = \frac{2.0625R^2}{4.5R} = 0.4583R \)

\( R_{CE'} = \frac{R_{CE} R_{AE}}{R_{AC} + R_{CE} + R_{AE}} = \frac{R · 2.75R}{4.5R} = 0.6111R \)

\( R_{AE'} = \frac{R_{AC} R_{CE}}{R_{AC} + R_{CE} + R_{AE}} = \frac{0.75R · R}{4.5R} = 0.1667R \)

Снова сложно.

Попробуем упростить схему, заметив, что точки E и F соединены через резистор \( R \). Ветвь A-E-F-...?

Рассмотрим мост ABDF. Резисторы: AB=R, BD=1.5R, DF=R, FA=R. Центральный резистор: AD.

Схема такая:

Верхняя линия: R (AB), 0.75R (AC), R (CE).

Нижняя линия: R (AB), 1.5R (BD), R (DF).

Вертикальные: R (AB), R (CD), R (EF).

Предположим, что вход и выход находятся в точках A и F.

Рассмотрим преобразование треугольника BCD в звезду O:

\( R_{BO} = \frac{3}{7}R \), \( R_{CO} = \frac{2}{7}R \), \( R_{DO} = \frac{3}{7}R \).

Новая схема:

A -(R)- B -(3/7R)- O -(3/7R)- D -(R)- F

A -(0.75R)- C -(2/7R)- O

E -(R)- F

\( R_{AE} = R \)

\( R_{CE} = R \)

Сначала сложим последовательно: \( R_{AC} = 0.75R \), \( R_{CE} = R \). Итого \( R_{ACE} = 1.75R \).

\( R_{BD} = 1.5R \), \( R_{DF} = R \). Итого \( R_{BDF} = 2.5R \).

Теперь у нас есть:

1. Резистор \( R_{AB} = R \).

2. Резистор \( R_{AC} = 0.75R \).

3. Резистор \( R_{BD} = 1.5R \).

4. Резистор \( R_{CD} = R \).

5. Резистор \( R_{CE} = R \).

6. Резистор \( R_{DF} = R \).

7. Резистор \( R_{AE} = R \) (верхний левый).

8. Резистор \( R_{EF} = R \).

9. Резистор \( R_{BF} = R \) (нижний левый).

\( R_{A..E} = R + 0.75R + R = 2.75R \) (верхняя длинная ветвь)

\( R_{B..F} = R + 1.5R + R = 3.5R \) (нижняя длинная ветвь)

Теперь рассмотрим резистор \( R \) между A и B, \( R \) между C и D, \( R \) между E и F.

Схема выглядит так:

\( R_{AE} = R \), \( R_{CE} = R \), \( R_{EF} = R \)

\( R_{AB} = R \), \( R_{AC} = 0.75R \)

\( R_{BD} = 1.5R \), \( R_{CD} = R \)

\( R_{BF} = R \)

Сначала преобразуем треугольник ACE в звезду O.

\( R_{AC}=0.75R, R_{CE}=R, R_{AE}=R \).

\( R_{AC'} = \frac{R_{AC} · R_{AE}}{R_{AC} + R_{CE} + R_{AE}} = \frac{0.75R · R}{0.75R + R + R} = \frac{0.75R^2}{2.75R} = \frac{3}{11}R \)

\( R_{CE'} = \frac{R_{CE} · R_{AE}}{R_{AC} + R_{CE} + R_{AE}} = \frac{R · R}{2.75R} = \frac{1}{2.75}R = \frac{4}{11}R \)

\( R_{AE'} = \frac{R_{AC} · R_{CE}}{R_{AC} + R_{CE} + R_{AE}} = \frac{0.75R · R}{2.75R} = \frac{0.75}{2.75}R = \frac{3}{11}R \)

Теперь схема:

A -(R)- B -(1.5R)- D -(R)- F

A -(3/11R)- C'

B -(4/11R)- E'

D -(3/7R)- O (из предыдущего преобразования)

Это всё слишком запутано.

Попробуем снова преобразование BCD в звезду O.

\( R_{BO} = \frac{3}{7}R \), \( R_{CO} = \frac{2}{7}R \), \( R_{DO} = \frac{3}{7}R \).

Новая схема:

A -(R)- B -(3/7R)- O -(3/7R)- D -(R)- F

A -(0.75R)- C -(2/7R)- O

E -(R)- F

\( R_{AE} = R \)

\( R_{CE} = R \)

Теперь соберём последовательные соединения:

\( R_{AB} = R \)

\( R_{AO(B)} = R_{AB} + R_{BO} = R + \frac{3}{7}R = \frac{10}{7}R \).

\( R_{AO(C)} = R_{AC} + R_{CO} = 0.75R + \frac{2}{7}R = \frac{3}{4}R + \frac{2}{7}R = \frac{21+8}{28}R = \frac{29}{28}R \).

\( R_{AF} = R_{AE} + R_{EF} = R + R = 2R \).

\( R_{DF} = R \).

\( R_{DO} = \frac{3}{7}R \).

\( R_{DOF} = R_{DO} + R_{DF} = \frac{3}{7}R + R = \frac{10}{7}R \).

Теперь параллельно соединены \( R_{AO(B)} \) и \( R_{AO(C)} \).

\( R_{AO} = \frac{R_{AO(B)} · R_{AO(C)}}{R_{AO(B)} + R_{AO(C)}} = \frac{\frac{10}{7}R · \frac{29}{28}R}{\frac{10}{7}R + \frac{29}{28}R} = \frac{\frac{290}{196}R^2}{\frac{40+29}{28}R} = \frac{\frac{290}{196}R^2}{\frac{69}{28}R} = \frac{290}{196} · \frac{28}{69} R = \frac{290}{7 · 69}R = \frac{290}{483}R \).

Теперь последовательно соединены \( R_{AO} \), \( R_{OD} \) и \( R_{DF} \).

\( R_{eq} = R_{AO} + R_{OD} + R_{DF} = \frac{290}{483}R + \frac{3}{7}R + R \)

\( R_{eq} = \frac{290}{483}R + \frac{3 · 69}{7 · 69}R + \frac{483}{483}R = \frac{290 + 207 + 483}{483}R = \frac{980}{483}R \).

\( R_{eq} = \frac{140}{69}R \).

При \( R = 2 \) Ом:

\( R_{eq} = \frac{140}{69} · 2 = \frac{280}{69} \) Ом.

Ответ: эквивалентное сопротивление участка равно \( \frac{280}{69} \) Ом.