Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Привет! Давай решим эту задачу по геометрии.
Дано:
- Окружность с центром O.
- NP — диаметр.
- ∠MNP = 18°.
Найти: ∠MON
Решение:
1. Угол MNP — вписанный угол, так как его вершина (N) лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках M и P.
2. Вписанный угол опирается на дугу MP. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Следовательно, градусная мера дуги MP равна:
Дуга MP = 2 \(\times\) ∠MNP = 2 \(\times\) 18° = 36°
3. Угол MON — центральный угол, так как его вершина (O) находится в центре окружности, а стороны проходят через точки M и N.
4. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Угол MON опирается на дугу MN.
5. NP — диаметр. Это значит, что NP делит окружность на две полуокружности. Дуга NMP = 180° и дуга NP = 180°.
6. Мы знаем, что NP — это диаметр. Угол MNP вписан в эту полуокружность (потому что он опирается на диаметр NP, если точка M на окружности, тогда угол MNP был бы 90 градусов. Здесь N - точка на окружности, а NP - диаметр. Значит, угол NMP является вписанным и опирается на диаметр, тогда угол NMP=90 градусов.
7. Давайте рассмотрим треугольник MNO. OM и ON — это радиусы окружности, следовательно, треугольник MNO — равнобедренный. Треугольник MNP - прямоугольный, так как опирается на диаметр.
8. У нас есть угол MNP = 18°. В прямоугольном треугольнике MNP, угол NMP = 90° - 18° = 72°.
9. Теперь вернемся к центральному углу ∠MON. Он равен дуге MN. Нам нужно найти дугу MN.
10. Дуга MP = 36°.
11. NP — диаметр, поэтому дуга NP = 180°.
12. Дуга MN = Дуга NP - Дуга MP = 180° - 36° = 144°.
13. Следовательно, центральный угол ∠MON равен дуге MN:
∠MON = Дуга MN = 144°
Проверим:
Если ∠MON = 144°, то дуга MN = 144°.
Угол MNP — вписанный, опирается на дугу MP. Нам нужно найти дугу MP.
Если NP - диаметр, то угол NOM = 180°.
Рассмотрим треугольник MON. OM = ON = радиус. Угол OMN = Угол ONM.
Если ∠MON = 144°, то в равнобедренном треугольнике MON углы при основании равны:
∠OMN = ∠ONM = \(\frac{180° - 144°}{2}\) = \(\frac{36°}{2}\) = 18°
Видим, что ∠ONM = 18°, что совпадает с данным ∠MNP = 18° (так как N - точка на окружности, и точка M на окружности, и P на окружности. N - вершина угла MNP. NP - диаметр. Значит, угол NMP=90 градусов).
Ответ:
144°
