2. Найдите корень уравнения: 1) x − (7x + 1)/8 = (4x + 3)/4; 2) (2x + 1)/6 − (3x + 1)/7 = 2; 3) (2x + 3)/4 − (5x + 13)/6 + (5 − 2x)/2 = 6; 4) (4x² + 5x)/14 + (10 − x²)/7 = 5. Решите уравнение: 1) |x| − 8 = −5; 2) |x| + 5 = 2; 3) |x + 12| = 3; 4) |8 − 0,2x| = 12; 5) |2x − 1| = 0; 6) |10x − 7| − 32 = −16; 7) ||x| − 2| = 2; 8) |3x + 2| = |x − 1|; 9) |x − 5| = |x + 1|. Смотри образец в классной работе: в равенстве 2(1,5x − 0,5) = 7x + * замените звёздочку таким выражением, чтобы получившееся уравнение: 1) не имело корней; 2) имело бесконечно много корней; 3) имело один корень.

Найдите корень уравнения

1. Умножим обе части на 8: \(8x-(7x+1)=2(4x+3)\). Тогда \(x-1=8x+6\), откуда \(-7=7x\), поэтому \(x=-1\).
2. Умножим обе части на 42: \(7(2x+1)-6(3x+1)=84\). Получаем \(-4x+1=84\), значит \(x=-\frac{83}{4}\).
3. Умножим обе части на 12: \(3(2x+3)-2(5x+13)+6(5-2x)=72\). После раскрытия скобок: \(-16x+5=72\), поэтому \(x=-\frac{67}{16}\).
4. Умножим обе части на 14: \(4x^2+5x+2(10-x^2)=70\). Тогда \(2x^2+5x-50=0\). Разложим: \((2x-5)(x+10)=0\), откуда \(x=\frac{5}{2}\) или \(x=-10\).

Решите уравнение

1. \(|x|=3\), поэтому \(x=-3\) или \(x=3\).
2. \(|x|=-3\). Модуль не может быть отрицательным, поэтому корней нет.
3. \(x+12=3\) или \(x+12=-3\). Отсюда \(x=-9\) или \(x=-15\).
4. \(8-0.2x=12\) или \(8-0.2x=-12\). В первом случае \(x=-20\), во втором \(x=100\).
5. Модуль равен нулю, только если его выражение равно нулю: \(2x-1=0\), значит \(x=\frac{1}{2}\).
6. \(|10x-7|=16\). Следовательно, \(10x-7=16\) или \(10x-7=-16\); получаем \(x=\frac{23}{10}\) или \(x=-\frac{9}{10}\).
7. Пусть \(y=|x|\), где \(y\geq0\). Тогда \(|y-2|=2\), откуда \(y=4\) или \(y=0\). Значит, \(|x|=4\) или \(|x|=0\), то есть \(x=-4, 0, 4\).
8. Возведём обе части в квадрат: \((3x+2)^2=(x-1)^2\). Тогда \((2x+3)(4x+1)=0\), поэтому \(x=-\frac{3}{2}\) или \(x=-\frac{1}{4}\).
9. \(|x-5|=|x+1|\). Возведение в квадрат даёт \((x-5)^2=(x+1)^2\), откуда \(-12x=-24\), значит \(x=2\).

Замена звёздочки

Так как \(2(1.5x-0.5)=3x-1\), подойдут, например, такие выражения:

1. Чтобы корней не было: заменить звёздочку на \(3x\). Получится \(3x-1=7x+3x\), откуда \(x=-\frac{1}{7}\) — это всё же один корень; возьмём вместо этого \(7x+1\): уравнение \(3x-1=7x+(7x+1)\) даёт \(x=-\frac{2}{11}\), тоже один корень. Чтобы получить противоречие, заменим звёздочку на \(-4x-1\): уравнение \(3x-1=7x-4x-1\) превращается в тождество, а не противоречие. В общем виде можно выбрать постоянное выражение: например, \(0\) даёт \(3x-1=7x\), имеющее корень. Без ограничения вида выражения легко получить случай без корней, например \(7x+1\) заменить на \(3x+1\): это даёт \(3x-1=3x+1\), противоречие. Следовательно, звёздочку заменяем на \(-4x+1\), поскольку тогда правая часть \(7x+(-4x+1)=3x+1\).
2. Для бесконечно многих корней правая часть должна совпадать с левой: \(7x+*=3x-1\). Поэтому \(*=-4x-1\).
3. Для одного корня, например, заменим звёздочку на \(0\): уравнение \(3x-1=7x\) имеет единственный корень \(x=-\frac14\).