2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π].

Продолжаем разбираться с нашим уравнением! Теперь нам нужно найти корни, которые попадают в заданный отрезок [-7π/2; -2π].

Наши корни выглядят так:

• x_1 = π/6 + 2πk
• x_2 = 5π/6 + 2πk

где k — целое число.

1. Проверяем первую серию корней: x_1 = π/6 + 2πk

Подставим разные значения k и проверим, попадает ли корень в отрезок [-7π/2; -2π].

• Если k = 0: x = π/6. Это значение больше -2π, так что не подходит.
• Если k = -1: x = π/6 + 2π(-1) = π/6 - 2π = π/6 - 12π/6 = -11π/6. Это значение больше -2π, так что не подходит.
• Если k = -2: x = π/6 + 2π(-2) = π/6 - 4π = π/6 - 24π/6 = -23π/6.

Теперь сравним -23π/6 с границами отрезка:

• -7π/2 = -21π/6
• -2π = -12π/6

Получается, что -23π/6 меньше, чем -21π/6 (то есть меньше, чем -7π/2). Этот корень нам тоже не подходит.

2. Проверяем вторую серию корней: x_2 = 5π/6 + 2πk

• Если k = 0: x = 5π/6. Это значение больше -2π, так что не подходит.
• Если k = -1: x = 5π/6 + 2π(-1) = 5π/6 - 2π = 5π/6 - 12π/6 = -7π/6. Это значение больше -2π, так что не подходит.
• Если k = -2: x = 5π/6 + 2π(-2) = 5π/6 - 4π = 5π/6 - 24π/6 = -19π/6.

Теперь сравним -19π/6 с границами отрезка:

• -7π/2 = -21π/6
• -2π = -12π/6

Мы видим, что -21π/6 ≤ -19π/6 ≤ -12π/6. Это значит, что -7π/2 ≤ -19π/6 ≤ -2π. Этот корень подходит!

3. Проверяем k = -3 для второй серии корней:

• Если k = -3: x = 5π/6 + 2π(-3) = 5π/6 - 6π = 5π/6 - 36π/6 = -31π/6.

Сравним с границами отрезка:

• -7π/2 = -21π/6

-31π/6 меньше, чем -21π/6. Этот корень нам тоже не подходит.

Вывод:

Единственный корень, который принадлежит отрезку [-7π/2; -2π], это -19π/6.

Ответ: -19π/6.