2) Найдите [неразборчиво: вероятно, наибольшее и наименьшее значения] функции: а) \(y=\frac{x+4}{\sqrt{x}}\) на \([0;9]\); б) \(y=\frac{x+1}{x^2+2x+2}\) на \([-2;1]\).

В заголовке неразборчиво, что именно требуется найти. Ниже приведены экстремумы на заданных промежутках и наибольшее и наименьшее значения там, где они существуют. В пункте а) предполагается, что промежуток — \([0;9]\).

а) Функция не определена при \(x=0\), поэтому рассматриваем \(0<x\leq 9\). Представим функцию как \(y=\sqrt{x}+\frac{4}{\sqrt{x}}\).

1. Найдём производную: \(y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{x\sqrt{x}}=\frac{x-4}{2x\sqrt{x}}\).
2. При \(0<x<4\) производная отрицательна, а при \(4<x\leq 9\) положительна. Значит, функция убывает до \(x=4\), затем возрастает.
3. Минимум достигается при \(x=4\): \(y(4)=4\). При \(x\to0+\) функция неограниченно возрастает, поэтому на данном промежутке наибольшего значения нет.

б) Знаменатель \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0\), поэтому функция определена на всём промежутке.

1. Производная: \(y'=\frac{x^2+2x+2-2(x+1)^2}{(x^2+2x+2)^2}=\frac{-x(x+2)}{(x^2+2x+2)^2}\).
2. На \((-2;0)\) производная отрицательна, на \((0;1)\) положительна. Следовательно, при \(x=0\) функция достигает минимума: \(y(0)=\frac12\).
3. Проверим значения на концах и в критической точке: \(y(-2)=-\frac12\), \(y(0)=\frac12\), \(y(1)=\frac25\).

Ответ: а) наименьшее значение — 4 при \(x=4\); наибольшего значения нет. б) наименьшее значение — \(-\frac12\) при \(x=-2\), наибольшее — \(\frac12\) при \(x=0\).