2. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, у которой каждое ребро равно 3 см.

Дано:

• Правильная треугольная пирамида
• Ребро основания (a) = 3 см
• Боковое ребро (b) = 3 см

Найти:

• Объем пирамиды (V)

Решение:

1. Определение правильной треугольной пирамиды: Это пирамида, в основании которой лежит правильный (равносторонний) треугольник, а вершина проецируется в центр основания. Все боковые ребра и грани равны.
2. Формула объема пирамиды:\[ V = \frac{1}{3} \times S_{осн.} \times h \]Где:
   • $$S_{осн.}$$ — площадь основания.
   • $$h$$ — высота пирамиды.
3. Расчет площади основания: Основание — равносторонний треугольник со стороной $$a=3$$ см. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:\[ S_{осн.} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]Подставляем значение $$a=3$$ см:\[ S_{осн.} = \frac{3^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \]
4. Расчет высоты пирамиды: В правильной треугольной пирамиде все ребра равны, что означает, что боковые ребра равны ребрам основания ($$a = b = 3$$ см). В этом частном случае пирамида является правильным тетраэдром. Высоту тетраэдра ($$h$$) можно найти по формуле:\[ h = a \sqrt{\frac{2}{3}} \]Подставляем значение $$a=3$$ см:\[ h = 3 \times \sqrt{\frac{2}{3}} = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3} = \sqrt{6} \text{ см} \]
5. Расчет объема пирамиды: Теперь подставляем найденные значения $$S_{осн.}$$ и $$h$$ в формулу объема:\[ V = \frac{1}{3} \times \frac{9 \sqrt{3}}{4} \times \sqrt{6} \]Упрощаем:\[ V = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \times \sqrt{6} = \frac{3 \sqrt{18}}{4} \]Выносим квадрат из-под корня:\[ V = \frac{3 \times 3 \sqrt{2}}{4} = \frac{9 \sqrt{2}}{4} \text{ см}^3 \]

Ответ: \(\frac{9 \sqrt{2}}{4}\) см³