2. Найдите определённый интеграл: а) ∫₀² 2e²ˣ⁻³ dx б) ∫₁² x² dx в) ∫₁² 2x² dx г) ∫₋₆⁰ (1-x)dx д) ∫₁² x⁴ dx

Пошаговое решение:

• а) ∫₀² 2e²ˣ⁻³ dx
  Первообразная для \( 2e^{2x-3} \) равна \( e^{2x-3} \).
  \( [e^{2x-3}]₀² = e^{2(2)-3} - e^{2(0)-3} = e^1 - e^{-3} = e - \frac{1}{e^3} \).
• б) ∫₁² x² dx
  Первообразная для \( x^2 \) равна \( \frac{x^3}{3} \>.
  \( [\frac{x^3}{3}]₁² = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \).
• в) ∫₁² 2x² dx
  Первообразная для \( 2x^2 \) равна \( \frac{2x^3}{3} \>.
  \( [\frac{2x^3}{3}]₁² = \frac{2(2^3)}{3} - \frac{2(1^3)}{3} = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3} \).
• г) ∫₋₆⁰ (1-x)dx
  Первообразная для \( 1-x \) равна \( x - \frac{x^2}{2} \>.
  \( [x - \frac{x^2}{2}]₋₆⁰ = (0 - \frac{0^2}{2}) - (-6 - \frac{(-6)^2}{2}) = 0 - (-6 - \frac{36}{2}) = -(-6 - 18) = -(-24) = 24 \).
• д) ∫₁² x⁴ dx
  Первообразная для \( x^4 \) равна \( \frac{x^5}{5} \>.
  \( [\frac{x^5}{5}]₁² = \frac{2^5}{5} - \frac{1^5}{5} = \frac{32}{5} - \frac{1}{5} = \frac{31}{5} \).

Ответ:

• а) \( e - \frac{1}{e^3} \)
• б) \( \frac{7}{3} \)
• в) \( \frac{14}{3} \)
• г) 24
• д) \( \frac{31}{5} \)