2. Найдите отношение площадей треугольников PQR и ABC, если PQ = 16 см, QR = 20 см, PR = 28 см, AB = 12 см, BC = 15 см, AC = 21 см.

Задание 2. Отношение площадей треугольников

Условие: Даны два треугольника: PQR и ABC.

Стороны треугольника PQR:

• PQ = 16 см
• QR = 20 см
• PR = 28 см

Стороны треугольника ABC:

• AB = 12 см
• BC = 15 см
• AC = 21 см

Найти: отношение площадей \[ \frac{S_{PQR}}{S_{ABC}} \].

Чтобы найти отношение площадей двух треугольников, нужно сначала определить, подобны ли они. Если треугольники подобны, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия.

Проверим подобие треугольников, сравнив отношения их соответствующих сторон. Предположим, что PQR ~ ABC, тогда:

\[ \frac{PQ}{AB} = \frac{QR}{BC} = \frac{PR}{AC} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{16}{12} = \frac{20}{15} = \frac{28}{21} \]

Упростим дроби:

\[ \frac{16}{12} = \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \]

\[ \frac{20}{15} = \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{4}{3} \]

\[ \frac{28}{21} = \frac{4 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{4}{3} \]

Поскольку все отношения равны 4/3, треугольники PQR и ABC подобны по трем сторонам (признак подобия).

Коэффициент подобия k равен:

\[ k = \frac{4}{3} \]

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[ \frac{S_{PQR}}{S_{ABC}} = k^2 \]

\[ \frac{S_{PQR}}{S_{ABC}} = \left( \frac{4}{3} \right)^2 = \frac{16}{9} \]

Ответ: отношение площадей треугольников PQR и ABC равно 16/9.