2. Найдите периметр и площадь заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке 3, если сторона квадрата ABCD равна 15 см. Примите π ≈ 3.

Решение:

Фигура состоит из двух полукругов и прямоугольника между ними. Заштрихованная область — это два сегмента, образованных пересечением двух кругов.

1. Квадрат ABCD:

• Сторона квадрата AB = BC = CD = AD = 15 см.

2. Круги:

• Диаметр каждого круга равен стороне квадрата, т.е. 15 см.
• Радиус каждого круга: \( r = \frac{15}{2} = 7.5 \) см.
• Площадь одного круга: \( S_{круг} = 11 × r^2 = 3 × (7.5)^2 = 3 × 56.25 = 168.75 \) см².
• Площадь двух кругов: \( 2 × 168.75 = 337.5 \) см².

3. Пересечение кругов (заштрихованная область):

Заштрихованная площадь — это площадь двух сегментов. Площадь каждого сегмента можно найти как площадь сектора минус площадь треугольника.

Центры кругов находятся в точках, соответствующих серединам сторон AB и CD. Радиусы, проведенные к точкам пересечения дуг (в вершинах B и C), образуют равносторонние треугольники с центрами кругов. Угол сектора равен 60° или \( \frac{11}{3} \).

• Площадь сектора одного круга (с углом 60°): \( S_{сектор} = \frac{1}{6} × S_{круг} = \frac{1}{6} × 168.75 = 28.125 \) см².
• Площадь равностороннего треугольника (со стороной 7.5 см): \( S_{триг} = \frac{\sqrt{3}}{4} × r^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} × (7.5)^2 \approx \frac{1.732}{4} × 56.25 × 0.8 = 24.375 × 0.8 = 19.5 \) см² (приблизительно).
• Площадь одного сегмента: \( S_{сегмент} = S_{сектор} - S_{триг} = 28.125 - 19.5 = 8.625 \) см² (приблизительно).
• Площадь всей заштрихованной фигуры: \( S_{заштр} = 2 × S_{сегмент} = 2 × 8.625 = 17.25 \) см² (приблизительно).

4. Периметр заштрихованной фигуры:

Периметр состоит из дуг окружностей, которые не являются частью заштрихованной области. Периметр заштрихованной фигуры — это линия, ограничивающая пересечение двух кругов. Это не является прямой линией, а сложной кривой. По условию задачи, необходимо найти периметр именно заштрихованной фигуры. Обычно под периметром фигуры подразумевается длина ее внешней границы. В данном случае, внешняя граница заштрихованной фигуры состоит из двух дуг. Эти дуги являются границами сегментов.

Периметр заштрихованной фигуры равен сумме длин двух дуг, составляющих внешнюю границу заштрихованной области. Длина каждой дуги равна длине дуги сектора, который мы вычислили ранее. Каждая дуга имеет угол 60°, т.е. \( \frac{1}{6} \) окружности.

• Длина дуги одного сектора: \( L_{дуги} = 0.5 × 2×11 × r × \frac{60}{360} = 11 × r × \frac{1}{6} = 3 × 7.5 × \frac{1}{6} = 22.5 × \frac{1}{6} = 3.75 \) см.
• Общий периметр заштрихованной фигуры: \( P_{заштр} = 2 × L_{дуги} = 2 × 3.75 = 7.5 \) см.

Ответ: Периметр заштрихованной фигуры равен 7.5 см, площадь заштрихованной фигуры примерно равна 17.25 см².