2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: левая колонка: \(y=4x-x^2\), \(y=x\), \(y=0\). Правая колонка: \(y=x^2+4x\), \(y=x\), \(y=0\).

Левая колонка. Точки пересечения: \(4x-x^2=x\) даёт \(x=0,3\); парабола пересекает ось \(Ox\) при \(x=0,4\), а прямая — при \(x=0\). Фигура состоит из двух областей: между параболой и прямой на \([0,3]\), а также между параболой и осью \(Ox\) на \([3,4]\).

\(S_1=\int_0^3((4x-x^2)-x)\,dx=\int_0^3(3x-x^2)\,dx=\frac{9}{2}.\)

\(S_2=\int_3^4(4x-x^2)\,dx=\frac{5}{3}.\)

Итого: \(S=\frac{9}{2}+\frac{5}{3}=\frac{37}{6}\).

Правая колонка. Точки пересечения: \(x^2+4x=x\) даёт \(x=-3,0\); парабола пересекает ось \(Ox\) при \(x=-4,0\), а прямая — при \(x=0\). Области ограничены на отрезках \([-4,-3]\) и \([-3,0]\).

На \([-4,-3]\) площадь между осью \(Ox\) и параболой: \(S_1=\int_{-4}^{-3}-(x^2+4x)\,dx=\frac{5}{3}\).

На \([-3,0]\) площадь между прямой и параболой: \(S_2=\int_{-3}^0(x-(x^2+4x))\,dx=\int_{-3}^0(-x^2-3x)\,dx=\frac{9}{2}\).

Итого: \(S=\frac{5}{3}+\frac{9}{2}=\frac{37}{6}\).

Ответ: в обеих колонках площадь равна \(\frac{37}{6}\).