2. Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки A (1; −1; 3), B (3; −1; 1) и C (−1; 1; 3).

Найдём векторы сторон и их длины:

\(\overrightarrow{AB}=(2;0;-2)\), поэтому \(AB=\sqrt{2^2+0^2+(-2)^2}=2\sqrt2\).

\(\overrightarrow{AC}=(-2;2;0)\), поэтому \(AC=\sqrt{(-2)^2+2^2+0^2}=2\sqrt2\).

\(\overrightarrow{BC}=(-4;2;2)\), поэтому \(BC=\sqrt{(-4)^2+2^2+2^2}=2\sqrt6\).

Так как \(AB=AC\), углы при вершинах B и C равны. Для угла A:

\(\cos A=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}=\dfrac{-4}{8}=-\dfrac12\), следовательно, \(A=120^\circ\). Тогда \(B=C=\dfrac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ\).

Периметр: \(P=AB+AC+BC=4\sqrt2+2\sqrt6\).

Площадь по двум сторонам и углу между ними: \(S=\dfrac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A=\dfrac12\cdot2\sqrt2\cdot2\sqrt2\cdot\sin120^\circ=2\sqrt3\).

Ответ: \(A=120^\circ\), \(B=C=30^\circ\); \(P=4\sqrt2+2\sqrt6\); \(S=2\sqrt3\).