2. Найдите все неизвестные углы параллелограмма. а) ABCD, диагональ AC, ∠BAC = 20°, ∠CAD = 40°. б) ABCD — параллелограмм, K лежит на AB, BK = BC, проведена KC, ∠KCD = 20°. Найдите все неизвестные углы.

а) Угол A разделён диагональю на углы 20° и 40°, поэтому ∠A = 20° + 40° = 60°. В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°.

∠C = 60°, ∠B = ∠D = 180° − 60° = 120°.

Ответ: ∠A = ∠C = 60°, ∠B = ∠D = 120°.

б) Так как BK = BC, треугольник BKC равнобедренный с основанием KC. Поскольку K лежит на AB, ∠KBC совпадает с внутренним углом B параллелограмма. Обозначим его через x. Тогда основания углы треугольника равны (180° − x) / 2.

Из параллельности AB ∥ CD и секущей KC следует, что ∠BKC = ∠KCD = 20°. Значит, ∠BCK = 20°, а сумма углов треугольника BKC даёт x = 180° − 20° − 20° = 140°.

Следовательно, ∠B = ∠D = 140°, а соседние углы ∠A = ∠C = 40°. Диагональная часть угла C равна ∠BCK = 20°, поэтому оставшаяся часть ∠KCD = 20°.

Ответ: ∠A = ∠C = 40°, ∠B = ∠D = 140°; ∠BCK = ∠KCD = 20°.