2. Найдите все неизвестные углы параллелограмма. а) Параллелограмм ABCD, диагональ AC; ∠BAC = 20°, ∠CAD = 40°. б) Параллелограмм ABCD, точка K на AB, диагональ KC; отмечено AB = BC и ∠KCD = 20°.

а) Диагональ AC делит угол A на два угла, поэтому ∠DAB = 20° + 40° = 60°. В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°.

Следовательно, ∠C = 60°, а ∠B = ∠D = 180° − 60° = 120°.

Ответ: ∠A = ∠C = 60°, ∠B = ∠D = 120°.

б) По отметкам AB = BC, а в параллелограмме AB = CD и BC = AD. Значит, все четыре стороны равны, и ABCD — ромб.

Так как AB ∥ CD и точки A, K, B лежат на одной прямой, угол между KC и CD равен углу между KC и KB: ∠BKC = ∠KCD = 20°.

В треугольнике BKC стороны BC и BK равны: BC = AB, а BK — часть AB. Однако равенство BK = BC из отметок не следует, поэтому треугольник BKC не является заведомо равнобедренным. Для углов параллелограмма можно определить ∠C: угол между KC и CD равен 20°, но угол между BC и KC не задан. Следовательно, весь угол C и углы параллелограмма однозначно не определяются.

Можно получить лишь связь: если обозначить ∠BCK через x, то ∠C = x + 20°, ∠A = x + 20°, а ∠B = ∠D = 160° − x. Нужен дополнительный угол или условие о положении K, чтобы найти численные значения.

Ответ: а) 60°, 120°, 60°, 120°; б) данных недостаточно для однозначного определения углов параллелограмма.