2. Найдите все неизвестные углы параллелограмма. а) В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC; ∠BAC = 20°, ∠CAD = 40°. б) В параллелограмме ABCD точка K лежит на AB, проведён отрезок KC, BK = BC, ∠KCD = 20°.

а) Диагональ AC делит угол A на углы 20° и 40°, поэтому \(∠A=20°+40°=60°\). Противоположные углы параллелограмма равны, а соседние в сумме дают 180°.

Значит, \(∠C=60°\), а \(∠B=∠D=180°-60°=120°\). Так как AB параллельна CD, \(∠ACD=∠BAC=20°\); следовательно, \(∠BCA=∠C-∠ACD=40°\).

Ответ для а): \(∠A=∠C=60°\), \(∠B=∠D=120°\); диагональ делит углы A и C на 20° и 40°.

б) Из \(BK=BC\) следует, что треугольник BKC равнобедренный, поэтому его углы при K и C равны. Обозначим \(∠BCK=∠BKC=x\). Поскольку \(∠KCD=20°\), весь угол C равен \(x+20°\).

Угол B треугольника BKC совпадает с углом B параллелограмма, а потому равен \(180°-∠C=160°-x\). Сумма углов треугольника даёт \(x+x+(160°-x)=180°\), откуда \(x=20°\).

Итак, \(∠C=20°+20°=40°\), \(∠A=40°\), а соседние с ними углы \(∠B=∠D=140°\). Кроме того, \(∠BCK=∠BKC=20°\), а смежный с \(∠BKC\) угол \(∠AKC=160°\).

Ответ для б): \(∠A=∠C=40°\), \(∠B=∠D=140°\); \(∠BCK=∠BKC=∠KCD=20°\), \(∠AKC=160°\).