2. Найдите все неизвестные углы параллелограмма ABCD: а) диагональ AC делит угол A на углы 20° и 40°; б) точка K лежит на AB, BK = BC, проведён отрезок KC, а угол KCD равен 20°.

а) Диагональ делит угол A на две части, поэтому ∠A = 20° + 40° = 60°. В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°: ∠C = 60°, ∠B = ∠D = 120°.

Так как BC ∥ AD, угол между AC и BC равен углу между AC и AD: ∠BCA = 40°. Тогда ∠ACD = ∠C − ∠BCA = 60° − 40° = 20°.

Итог для а): ∠A = ∠C = 60°, ∠B = ∠D = 120°; ∠BCA = ∠ACD = 20° и 40° соответственно.

б) Поскольку BK = BC, треугольник BKC равнобедренный, поэтому ∠BKC = ∠BCK. Обозначим каждый из этих углов через x. Так как ∠KCD = 20°, угол C параллелограмма равен x + 20°.

Угол B треугольника BKC смежный с углом B параллелограмма, а угол B параллелограмма смежный с углом C. Следовательно, ∠KBC = ∠C = x + 20°. Из суммы углов треугольника: 2x + (x + 20°) = 180°, откуда x = 160°/3 = 53⅓°.

Значит, ∠C = ∠A = x + 20° = 73⅓°, а соседние углы ∠B = ∠D = 180° − 73⅓° = 106⅔°. Кроме того, ∠BKC = ∠BCK = 53⅓°.

Итог для б): ∠A = ∠C = 73⅓°, ∠B = ∠D = 106⅔°; ∠BKC = ∠BCK = 53⅓°.