2. Найдите все неизвестные углы параллелограмма. Слева: параллелограмм ABCD с диагональю AC; ∠BAC = 20°, ∠CAD = 40°. Справа: параллелограмм ABCD, точка K лежит на AB, BK = BC, проведена KC, ∠KCD = 20°.

Левый рисунок. Угол A разделён диагональю на углы 20° и 40°, поэтому ∠A = 20° + 40° = 60°. Противоположный угол C равен 60°, а соседние углы B и D равны 180° − 60° = 120°.

Поскольку AB ∥ CD и AD ∥ BC, накрест лежащие углы равны: ∠ACD = ∠BAC = 20°, а ∠BCA = ∠CAD = 40°.

Левый рисунок: ∠A = ∠C = 60°, ∠B = ∠D = 120°; ∠ACD = 20°, ∠BCA = 40°.

Правый рисунок. Обозначим ∠BCK за x. Так как BK = BC, треугольник BKC равнобедренный, и ∠BKC = ∠BCK = x. Тогда ∠KBC = 180° − 2x. Поскольку K лежит на AB, это угол B параллелограмма.

Угол C параллелограмма равен ∠BCK + ∠KCD = x + 20°. Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°, следовательно, ∠B = 180° − (x + 20°) = 160° − x.

Приравниваем два выражения для ∠B: 180° − 2x = 160° − x, откуда x = 20°. Значит, ∠BCK = ∠BKC = 20°, а ∠KBC = 140°. Угол C параллелограмма равен 40°, противоположный ему угол A — 40°, а ∠D = 140°.

Правый рисунок: ∠A = ∠C = 40°, ∠B = ∠D = 140°; ∠BCK = ∠BKC = 20°, ∠KBC = 140°.