2. Найти частное решение дифференциального уравнения (задача Коши). 1. x²dx + ydy = 0, если y = 1 при x = 0 2. 2yy' = 1 - 3x², если y = 3 при x = 1

2. Решение задачи Коши

1. Уравнение: \( x^2dx + ydy = 0 \)

1. Разделим переменные: \( ydy = -x^2dx \)
2. Проинтегрируем обе части: \( \int ydy = \int -x^2dx \)
3. Получим: \( \frac{y^2}{2} = -\frac{x^3}{3} + C \)
4. Используем начальное условие \( y = 1 \) при \( x = 0 \): \( \frac{1^2}{2} = -\frac{0^3}{3} + C \) \( \implies \frac{1}{2} = C \)
5. Подставим \( C \) в общее решение: \( \frac{y^2}{2} = -\frac{x^3}{3} + \frac{1}{2} \)
6. Выразим \( y \): \( y^2 = -\frac{2x^3}{3} + 1 \)
7. \( y = \sqrt{1 - \frac{2x^3}{3}} \) (Так как \( y=1 \) положительное)

2. Уравнение: \( 2yy' = 1 - 3x^2 \)

1. Запишем \( y' \) как \( \frac{dy}{dx} \): \( 2y\frac{dy}{dx} = 1 - 3x^2 \)
2. Разделим переменные: \( 2ydy = (1 - 3x^2)dx \)
3. Проинтегрируем обе части: \( \int 2ydy = \int (1 - 3x^2)dx \)
4. Получим: \( y^2 = x - x^3 + C \)
5. Используем начальное условие \( y = 3 \) при \( x = 1 \): \( 3^2 = 1 - 1^3 + C \) \( \implies 9 = 1 - 1 + C \) \( \implies C = 9 \)
6. Подставим \( C \) в общее решение: \( y^2 = x - x^3 + 9 \)
7. \( y = \sqrt{x - x^3 + 9} \) (Так как \( y=3 \) положительное)