2. Найти частное решение: y' + 3y/x = x^2, y(1) = 1/6.

Решение:

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида \( y' + P(x)y = Q(x) \), где \( P(x) = \frac{3}{x} \) и \( Q(x) = x^2 \).

Найдем общее решение методом Бернулли (предполагая \( y = uv \)).

\( y' = u'v + uv' \)

Подставим в уравнение:

\[ u'v + uv' + \frac{3}{x}uv = x^2 \]

\[ v(u' + \frac{3}{x}u) + uv' = x^2 \]

Сначала решим однородное уравнение \( u' + \frac{3}{x}u = 0 \):

\[ \frac{du}{dx} = -\frac{3u}{x} \]

\[ \frac{du}{u} = -\frac{3dx}{x} \]

\[ \int \frac{du}{u} = \int -\frac{3dx}{x} \]

\[ \ln|u| = -3\ln|x| + \ln|C| \]

\[ u = \frac{C}{x^3} \]

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения, полагая \( C = C(x) \), и подставим \( u = \frac{C(x)}{x^3} \) и \( u' = \frac{C'(x)x^3 - C(x)3x^2}{x^6} = \frac{C'(x)}{x^3} - \frac{3C(x)}{x^4} \) в уравнение \( v(u' + \frac{3}{x}u) + uv' = x^2 \), где \( v \) теперь \( C(x) \), а \( u \) — решение однородного уравнения:

\[ \frac{C'(x)}{x^3} - \frac{3C(x)}{x^4} + \frac{3}{x} \frac{C(x)}{x^3} + \frac{C(x)}{x^3} C'(x) = x^2 \]

Заметим, что члены с \( C(x) \) сокращаются:

\[ \frac{C'(x)}{x^3} + \frac{C(x)}{x^3} C'(x) = x^2 \]

Здесь ошибка в подстановке, вернемся к \( u = C/x^3 \). Подставим \( y = u \cdot v \) в исходное уравнение:

\[ u'v + uv' + \frac{3}{x}uv = x^2 \]

Приравниваем к нулю выражение для однородного уравнения: \( u'v + \frac{3}{x}uv = 0 \) => \( v(u' + \frac{3}{x}u) = 0 \). Так как \( v \) не равно нулю, то \( u' + \frac{3}{x}u = 0 \), что мы уже решили: \( u = \frac{C}{x^3} \).

Остается \( uv' = x^2 \).

\[ \frac{C}{x^3} v' = x^2 \]

\[ v' = \frac{x^5}{C} \]

Интегрируем \( v' \) для нахождения \( v \):

\[ v = \int \frac{x^5}{C} dx = \frac{1}{C} \int x^5 dx = \frac{1}{C} \frac{x^6}{6} + D \]

Тогда \( y = uv = \frac{C}{x^3} (\frac{x^6}{6C} + D) = \frac{x^3}{6} + \frac{CD}{x^3} \).

Обозначим \( C_1 = CD \) как новую константу:

\[ y = \frac{x^3}{6} + \frac{C_1}{x^3} \]

Теперь используем начальное условие \( y(1) = \frac{1}{6} \) для нахождения \( C_1 \):

\[ \frac{1}{6} = \frac{1^3}{6} + \frac{C_1}{1^3} \]

\[ \frac{1}{6} = \frac{1}{6} + C_1 \]

\[ C_1 = 0 \]

Подставляем \( C_1 = 0 \) в общее решение:

\[ y = \frac{x^3}{6} \]

Ответ: \( y = \frac{x^3}{6} \).