2. Найти первообразную, график которой проходит через т.А a) f(x) = 3x²-2x+4; A(-1;1) 6) f(x) = 4x+1/x²; A(-1;4) B) f(x) = sin 2x; A(π/4;-2)

Решение:

Чтобы найти первообразную, проинтегрируем функцию. Проверим, проходит ли график первообразной через заданную точку А.

а)

Функция: \( f(x) = 3x^2 - 2x + 4 \)

Первообразная: \( F(x) = \int (3x^2 - 2x + 4) dx = 3\frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 4x + C = x^3 - x^2 + 4x + C \)

Подставим координаты точки A(-1;1): \( 1 = (-1)^3 - (-1)^2 + 4(-1) + C \)

\( 1 = -1 - 1 - 4 + C \)

\( 1 = -6 + C \)

\( C = 7 \)

Первообразная: \( F(x) = x^3 - x^2 + 4x + 7 \)

б)

Функция: \( f(x) = 4x + \frac{1}{x^2} \)

Первообразная: \( F(x) = \int (4x + x^{-2}) dx = 4\frac{x^2}{2} + \frac{x^{-1}}{-1} + C = 2x^2 - \frac{1}{x} + C \)

Подставим координаты точки A(-1;4): \( 4 = 2(-1)^2 - \frac{1}{-1} + C \)

\( 4 = 2(1) + 1 + C \)

\( 4 = 2 + 1 + C \)

\( 4 = 3 + C \)

\( C = 1 \)

Первообразная: \( F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1 \)

в)

Функция: \( f(x) = \sin 2x \)

Первообразная: \( F(x) = \int \sin 2x dx = -\frac{\cos 2x}{2} + C \)

Подставим координаты точки A(\(\frac{\pi}{4}\); -2): \( -2 = -\frac{\cos (2 \cdot \frac{\pi}{4})}{2} + C \)

\( -2 = -\frac{\cos \frac{\pi}{2}}{2} + C \)

\( -2 = -\frac{0}{2} + C \)

\( -2 = 0 + C \)

\( C = -2 \)

Первообразная: \( F(x) = -\frac{\cos 2x}{2} - 2 \)

Ответ: а) \( F(x) = x^3 - x^2 + 4x + 7 \); б) \( F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1 \); в) \( F(x) = -\frac{\cos 2x}{2} - 2 \)