2. Найти первообразную, график которой проходит через т.А a) f(x) = 4x-6x²+1; A(0;2) 6) f(x) = 1/x² - 10x⁴ +3; A(1;5) B) f(x) = √2cosx; A(π/4;2)

Решение:

Чтобы найти первообразную, проинтегрируем функцию. Проверим, проходит ли график первообразной через заданную точку А.

а)

Функция: \( f(x) = 4x - 6x^2 + 1 \)

Первообразная: \( F(x) = \int (4x - 6x^2 + 1) dx = 4\frac{x^2}{2} - 6\frac{x^3}{3} + x + C = 2x^2 - 2x^3 + x + C \)

Подставим координаты точки A(0;2): \( 2 = 2(0)^2 - 2(0)^3 + 0 + C \)

\( 2 = 0 - 0 + 0 + C \)

\( C = 2 \)

Первообразная: \( F(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + 2 \)

б)

Функция: \( f(x) = \frac{1}{x^2} - 10x^4 + 3 \)

Первообразная: \( F(x) = \int (x^{-2} - 10x^4 + 3) dx = \frac{x^{-1}}{-1} - 10\frac{x^5}{5} + 3x + C = -\frac{1}{x} - 2x^5 + 3x + C \)

Подставим координаты точки A(1;5): \( 5 = -\frac{1}{1} - 2(1)^5 + 3(1) + C \)

\( 5 = -1 - 2 + 3 + C \)

\( 5 = 0 + C \)

\( C = 5 \)

Первообразная: \( F(x) = -\frac{1}{x} - 2x^5 + 3x + 5 \)

в)

Функция: \( f(x) = \sqrt{2} \cos x \)

Первообразная: \( F(x) = \int \sqrt{2} \cos x dx = \sqrt{2} \sin x + C \)

Подставим координаты точки A(\(\frac{\pi}{4}\); 2): \( 2 = \sqrt{2} \sin \frac{\pi}{4} + C \)

\( 2 = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + C \)

\( 2 = \frac{2}{2} + C \)

\( 2 = 1 + C \)

\( C = 1 \)

Первообразная: \( F(x) = \sqrt{2} \sin x + 1 \)

Ответ: а) \( F(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + 2 \); б) \( F(x) = -\frac{1}{x} - 2x^5 + 3x + 5 \); в) \( F(x) = \sqrt{2} \sin x + 1 \)