2. Найти промежутки монотонности функции: f(x) = x³ - 5x² + 3x

Решение:

Чтобы найти промежутки монотонности функции, нужно исследовать знак её производной.

1. Найдем производную функции \( f(x) = x^3 - 5x^2 + 3x \):
   \( f'(x) = (x^3 - 5x^2 + 3x)' = 3x^2 - 10x + 3 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \[ 3x^2 - 10x + 3 = 0 \]
3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \).
   Корни уравнения:
   \[ x_1 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
   \[ x_2 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \]
4. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками \( (-\infty, \frac{1}{3}) \), \( (\frac{1}{3}, 3) \), \( (3, \infty) \).
   Выберем тестовые точки:
   — На интервале \( (-\infty, \frac{1}{3}) \), например, \( x = 0 \): \( f'(0) = 3(0)^2 - 10(0) + 3 = 3 > 0 \). Функция возрастает.
   — На интервале \( (\frac{1}{3}, 3) \), например, \( x = 1 \): \( f'(1) = 3(1)^2 - 10(1) + 3 = 3 - 10 + 3 = -4 < 0 \). Функция убывает.
   — На интервале \( (3, \infty) \), например, \( x = 4 \): \( f'(4) = 3(4)^2 - 10(4) + 3 = 3(16) - 40 + 3 = 48 - 40 + 3 = 11 > 0 \). Функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на интервалах \( (-\infty, \frac{1}{3}] \) и \( [3, \infty) \), убывает на интервале \( [\frac{1}{3}, 3] \).