2. Найти все корни уравнения на отрезке [0;3π]

Решение:

Нам нужно найти корни уравнений на отрезке \( [0; 3\pi] \).

1) \( \cos x = \frac{1}{2} \)

Основной корень уравнения \( \cos x = \frac{1}{2} \) — это \( x = \frac{\pi}{3} \). Общее решение имеет вид \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Рассмотрим два случая:

1. \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \):
• При \( k=0 \): \( x = \frac{\pi}{3} \). Этот корень принадлежит отрезку \( [0; 3\pi] \).
• При \( k=1 \): \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \). Этот корень принадлежит отрезку \( [0; 3\pi] \).
• При \( k=2 \): \( x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3} \). Этот корень не принадлежит отрезку \( [0; 3\pi] \), так как \( \frac{13\pi}{3} > 3\pi \).
2. \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \):
• При \( k=0 \): \( x = -\frac{\pi}{3} \). Этот корень не принадлежит отрезку \( [0; 3\pi] \).
• При \( k=1 \): \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \). Этот корень принадлежит отрезку \( [0; 3\pi] \).
• При \( k=2 \): \( x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3} \). Этот корень не принадлежит отрезку \( [0; 3\pi] \), так как \( \frac{11\pi}{3} > 3\pi \).

Корни из первого уравнения на отрезке \( [0; 3\pi] \): \( \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \).

3) \( 2 \cos x + \sqrt{3} = 0 \)

Решим уравнение: \( 2 \cos x = -\sqrt{3} \) \( \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Основной корень уравнения \( \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) — это \( x = \frac{5\pi}{6} \). Общее решение имеет вид \( x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Рассмотрим два случая:

1. \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \):
• При \( k=0 \): \( x = \frac{5\pi}{6} \). Этот корень принадлежит отрезку \( [0; 3\pi] \).
• При \( k=1 \): \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \). Этот корень принадлежит отрезку \( [0; 3\pi] \).
• При \( k=2 \): \( x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6} \). Этот корень не принадлежит отрезку \( [0; 3\pi] \), так как \( \frac{29\pi}{6} > 3\pi \).
2. \( x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \):
• При \( k=0 \): \( x = -\frac{5\pi}{6} \). Этот корень не принадлежит отрезку \( [0; 3\pi] \).
• При \( k=1 \): \( x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6} \). Этот корень принадлежит отрезку \( [0; 3\pi] \).
• При \( k=2 \): \( x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6} \). Этот корень принадлежит отрезку \( [0; 3\pi] \).
• При \( k=3 \): \( x = -\frac{5\pi}{6} + 6\pi = \frac{31\pi}{6} \). Этот корень не принадлежит отрезку \( [0; 3\pi] \), так как \( \frac{31\pi}{6} > 3\pi \).

Корни из второго уравнения на отрезке \( [0; 3\pi] \): \( \frac{5\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{19\pi}{6} \).

Ответ: \( \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3} \) для первого уравнения; \( \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}, \frac{19\pi}{6} \) для третьего уравнения.