2. Найти значение производной функции в точке x₀

Решение:

Сначала найдём производную функции, а затем подставим значение \( x_0 \).

• а) \( y = -\cos x + 2, \quad x_0 = \frac{\pi}{3} \)
  Производная от \( -\cos x \) равна \( -(-\sin x) = \sin x \). Производная от константы \( 2 \) равна \( 0 \).
  \[ y' = \sin x \]
  Подставим \( x_0 = \frac{\pi}{3} \):
  \[ y'\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
• б) \( y = \frac{\sin x}{x}, \quad x_0 = \frac{\pi}{2} \)
  Применим правило производной частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \). Производная \( \sin x \) равна \( \cos x \), а производная \( x \) равна \( 1 \).
  \[ y' = \frac{(\sin x)' \cdot x - \sin x \cdot (x)'}{x^2} \]
  \[ y' = \frac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^2} \]
  \[ y' = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2} \]
  Подставим \( x_0 = \frac{\pi}{2} \):
  \[ y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\frac{\pi}{2} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\left(\frac{\pi}{2}\right)^2} \]
  \[ y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\frac{\pi}{2} \cdot 0 - 1}{\frac{\pi^2}{4}} = \frac{-1}{\frac{\pi^2}{4}} = -\frac{4}{\pi^2} \]

Ответ: а) \( y'\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \); б) \( y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{4}{\pi^2} \).