2. Не выполняя построений, выясните, сколько решений имеет система уравнений.

Решение:

Чтобы выяснить, сколько решений имеет система линейных уравнений, сравним коэффициенты при соответствующих переменных и свободные члены.

Система имеет:

• Одно решение: если отношения коэффициентов при x и y неравны.
• Бесконечно много решений: если отношения коэффициентов при x, y и свободных членов равны.
• Не имеет решений: если отношения коэффициентов при x и y равны, а отношение к свободным членам не равно.

а)

Система:

\( \begin{cases} 3x - 3y = 1 \\ 5x + y = 2 \end{cases} \)

Сравним коэффициенты:

\( \frac{3}{5} \neq \frac{-3}{1} \)

Так как коэффициенты при x и y не пропорциональны, система имеет одно решение.

б)

Система:

\( \begin{cases} 9x - 6y = 5 \\ 2y - 3x = 2 \end{cases} \)

Преобразуем второе уравнение: \( -3x + 2y = 2 \).

Сравним коэффициенты:

\( \frac{9}{-3} = -3 \)

\( \frac{-6}{2} = -3 \)

\( \frac{5}{2} \)

Так как \( \frac{9}{-3} = \frac{-6}{2} \neq \frac{5}{2} \), система не имеет решений.

в)

Система:

\( \begin{cases} 3x - 4y = 1 \\ 8y - 6x = -2 \end{cases} \)

Преобразуем второе уравнение: \( -6x + 8y = -2 \).

Сравним коэффициенты:

\( \frac{3}{-6} = -0.5 \)

\( \frac{-4}{8} = -0.5 \)

\( \frac{1}{-2} = -0.5 \)

Так как \( \frac{3}{-6} = \frac{-4}{8} = \frac{1}{-2} \), система имеет бесконечно много решений.

Ответ: а) одно решение; б) не имеет решений; в) бесконечно много решений.