2. Не выполняя построений, выясните, сколько решений имеет система уравнений. a) {5x + y = 2, 3x - 3y = 1} б) {2y - 3x = 2, 9x - 6y = 5} в) {3x - 4y = 1, 8y - 6x = -2}

Решение:

Для определения количества решений системы линейных уравнений будем сравнивать коэффициенты при x и y, а также свободные члены.

а) \( \begin{cases} 5x + y = 2 \\ 3x - 3y = 1 \end{cases} \)

1. Выразим \( y \) из первого уравнения: \( y = 2 - 5x \).
2. Подставим во второе уравнение: \( 3x - 3(2 - 5x) = 1 \)
3. Решим полученное уравнение: \( 3x - 6 + 15x = 1 \) \( 18x = 7 \) \( x = \frac{7}{18} \)
4. Так как мы получили единственное значение \( x \), система имеет одно решение.

б) \( \begin{cases} 2y - 3x = 2 \\ 9x - 6y = 5 \end{cases} \)

1. Умножим первое уравнение на 3: \( 6y - 9x = 6 \).
2. Перепишем систему: \( \begin{cases} -9x + 6y = 6 \\ 9x - 6y = 5 \end{cases} \)
3. Сложим два уравнения: \( (-9x + 6y) + (9x - 6y) = 6 + 5 \) \( 0 = 11 \)
4. Получили неверное равенство, значит, система решений не имеет.

в) \( \begin{cases} 3x - 4y = 1 \\ 8y - 6x = -2 \end{cases} \)

1. Перепишем второе уравнение, поменяв местами члены: \( -6x + 8y = -2 \).
2. Разделим второе уравнение на -2: \( 3x - 4y = 1 \).
3. Получаем, что оба уравнения эквивалентны: \( \begin{cases} 3x - 4y = 1 \\ 3x - 4y = 1 \end{cases} \)
4. Система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: а) одно решение; б) нет решений; в) бесконечно много решений.