2. Один из острых углов прямоугольного треугольника в два раза меньше другого, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Пошаговое решение:

• Пусть меньший острый угол равен \(\alpha\). Тогда другой острый угол равен \(2\alpha\).
• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому \(\alpha + 2\alpha = 90°\).
• Отсюда \(3\alpha = 90°\), значит, \(\alpha = 30°\).
• Таким образом, углы треугольника равны 30°, 60° и 90°.
• В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
• Пусть гипотенуза равна \(c\), а меньший катет (лежащий против угла 30°) равен \(a\). Тогда \(a = c/2\).
• По условию, разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см: \(c - a = 15\).
• Подставим \(a = c/2\) в уравнение: \(c - c/2 = 15\).
• \(c/2 = 15\), следовательно, \(c = 30\) см.
• Теперь найдем меньший катет: \(a = c/2 = 30/2 = 15\) см.
• Проверим, используя теорему Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\), где \(b\) — больший катет.
• Больший катет \(b\) (лежащий против угла 60°) равен \(a\sqrt{3}\) или \(c rac{\sqrt{3}}{2}\).
• \(b = 15\sqrt{3}\) см.
• \(15^2 + (15\sqrt{3})^2 = 225 + 225 \cdot 3 = 225 + 675 = 900\).
• \(c^2 = 30^2 = 900\). Теорема Пифагора выполняется.

Ответ: Гипотенуза равна 30 см, меньший катет равен 15 см.