2. Один из углов равнобедренной трапеции равен 60°, а диагональ трапеции делит этот угол пополам. Найдите периметр трапеции, если её большее основание равно 14 см.

Пусть большее основание равно 14 см, а горизонтальный отступ каждого конца меньшего основания от большего основания равен x. Так как трапеция равнобедренная, отступы по обе стороны равны.

Угол при большем основании равен 60°. В прямоугольном треугольнике у боковой стороны высота трапеции равна h = x tan 60° = x√3.

Диагональ делит угол 60° пополам, поэтому угол между диагональю и большим основанием равен 30°. Горизонтальная проекция этой диагонали равна 14 − x, значит tan 30° = h/(14 − x).

Подставим h = x√3 и tan 30° = 1/√3: x√3/(14 − x) = 1/√3. Отсюда 3x = 14 − x, поэтому x = 3,5 см.

Меньшее основание равно 14 − 2x = 7 см. Боковая сторона равна √(x² + h²) = √(x² + 3x²) = 2x = 7 см.

Периметр: 14 + 7 + 7 + 7 = 35 см.

Ответ: 35 см.