2. Один из углов треугольника на 20° больше второго и на 50° меньше третьего. Найдите угол между биссектрисами меньших углов треугольника.

Решение:

Пусть \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) — углы треугольника.

По условию:

\(\beta = \alpha + 20°\)

\(\gamma = \beta + 50° = (\alpha + 20°) + 50° = \alpha + 70°\)

Сумма углов треугольника равна 180°:

\(\alpha + \beta + \gamma = 180°\)

\(\alpha + (\alpha + 20°) + (\alpha + 70°) = 180°\)

\(3\alpha + 90° = 180°\)

\(3\alpha = 180° - 90°\)

\(3\alpha = 90°\)

\(\alpha = 30°\)

Найдем остальные углы:

\(\beta = \alpha + 20° = 30° + 20° = 50°\)

\(\gamma = \alpha + 70° = 30° + 70° = 100°\)

Углы треугольника: 30°, 50°, 100°.

Меньшие углы — это \(\alpha = 30°\) и \(\beta = 50°\).

Найдем биссектрисы этих углов. Пусть \(l_\alpha\) — биссектриса угла \(\alpha\), \(l_\beta\) — биссектриса угла \(\beta\).

Угол между биссектрисами \(l_\alpha\) и \(l_\beta\) в треугольнике равен:

\(\phi = 180° - \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2}\)

\(\phi = 180° - \frac{30°}{2} - \frac{50°}{2}\)

\(\phi = 180° - 15° - 25°\)

\(\phi = 180° - 40°\)

\(\phi = 140°\)

Ответ: Угол между биссектрисами меньших углов треугольника равен 140°.