2. Охарактеризуйте функцию. Постройте график функции и опишите её свойства: 1 вариант: y = x² + 4x + 2; 2 вариант: y = −x² − 6x + 3. Свойства: 1) область определения функции; 2) область значений функции; 3) нули функции; 4) промежутки знакопостоянства; 5) промежутки монотонности; 6) наибольшее или наименьшее значение функции.

1 вариант: \(y=x^2+4x+2=(x+2)^2-2\). Парабола направлена ветвями вверх; её вершина — \((-2;-2)\), ось симметрии — \(x=-2\).

1. Область определения: \(D(y)=(-\infty;+\infty)\).
2. Область значений: \(E(y)=[-2;+\infty)\), поскольку \((x+2)^2\geq 0\).
3. Нули: \((x+2)^2-2=0\), поэтому \(x=-2\pm\sqrt{2}\).
4. Функция положительна на \((-\infty;-2-\sqrt{2})\cup(-2+\sqrt{2};+\infty)\) и отрицательна на \((-2-\sqrt{2};-2+\sqrt{2})\).
5. Убывает на \((-\infty;-2]\) и возрастает на \([-2;+\infty)\).
6. Наименьшее значение равно \(-2\) при \(x=-2\); наибольшего значения нет.

2 вариант: \(y=-x^2-6x+3=-(x+3)^2+12\). Парабола направлена ветвями вниз; её вершина — \((-3;12)\), ось симметрии — \(x=-3\).

1. Область определения: \(D(y)=(-\infty;+\infty)\).
2. Область значений: \(E(y)=(-\infty;12]\), поскольку \(-(x+3)^2\leq 0\).
3. Нули: \(-(x+3)^2+12=0\), откуда \((x+3)^2=12\) и \(x=-3\pm2\sqrt{3}\).
4. Функция положительна на \((-3-2\sqrt{3};-3+2\sqrt{3})\) и отрицательна на \((-\infty;-3-2\sqrt{3})\cup(-3+2\sqrt{3};+\infty)\).
5. Возрастает на \((-\infty;-3]\) и убывает на \([-3;+\infty)\).
6. Наибольшее значение равно \(12\) при \(x=-3\); наименьшего значения нет.