2. Около окружности радиуса 12 см описана равнобедрен-ная трапеция, периметр ко-торой равен 100 см. Найди- те основания и площадь трапеции.

Привет! Давай вместе решим эту геометрическую задачку про трапецию. Не волнуйся, мы все разберем по шагам!

Дано:

• Равнобедренная трапеция, описанная около окружности.
• Радиус вписанной окружности r = 12 см.
• Периметр трапеции P = 100 см.

Найти:

• Основания трапеции (a и b).
• Площадь трапеции S.

Решение:

Шаг 1: Свойства трапеции, описанной около окружности.

• Главное свойство такой трапеции: сумма противоположных сторон равна. В нашем случае, если a и b — основания, а c — боковая сторона (так как трапеция равнобедренная, обе боковые стороны равны c), то выполняется условие: a + b = c + c, то есть a + b = 2c.
• Мы знаем периметр: P = a + b + 2c = 100 см.
• Подставим a + b = 2c в формулу периметра: 2c + 2c = 100, что дает 4c = 100.
• Отсюда находим длину боковой стороны: c = 100 / 4 = 25 см.

Шаг 2: Находим сумму оснований.

• Теперь, зная, что a + b = 2c, мы можем найти сумму оснований: a + b = 2 * 25 = 50 см.

Шаг 3: Высота трапеции.

• Когда около трапеции можно вписать окружность, ее высота (h) равна диаметру этой окружности.
• Диаметр d = 2r. Так как r = 12 см, то высота h = 2 * 12 = 24 см.

Шаг 4: Находим основания.

• Теперь нам нужно найти сами основания a и b. У нас есть сумма a + b = 50. Нам понадобится еще одно соотношение.
• Проведем высоту из концов меньшего основания к большему. Получится прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это боковая сторона c (25 см), один катет — высота h (24 см), а второй катет — это половина разности оснований: (a - b) / 2.
• Используем теорему Пифагора для этого треугольника: h^2 + ((a - b) / 2)^2 = c^2.
• Подставляем значения: 24^2 + ((a - b) / 2)^2 = 25^2.
• 576 + ((a - b) / 2)^2 = 625.
• ((a - b) / 2)^2 = 625 - 576 = 49.
• (a - b) / 2 = √49 = 7 см.
• Отсюда находим разность оснований: a - b = 2 * 7 = 14 см.
• Теперь у нас есть система уравнений:
• a + b = 50
• a - b = 14
• Сложим эти два уравнения: (a + b) + (a - b) = 50 + 14, что дает 2a = 64.
• Найдем a: a = 64 / 2 = 32 см.
• Найдем b: b = 50 - a = 50 - 32 = 18 см.
• Итак, основания трапеции равны 32 см и 18 см.

Шаг 5: Вычисляем площадь трапеции.

• Площадь трапеции находится по формуле: S = (a + b) / 2 * h.
• Мы уже знаем сумму оснований (a + b = 50 см) и высоту (h = 24 см).
• S = 50 / 2 * 24 = 25 * 24 = 600 см².

Ответ: Основания трапеции равны 32 см и 18 см. Площадь трапеции равна 600 см².