2. Он подписал письмо (своё имя); сестра (своё имя) написала в тетради; путник назвал (своё имя); художник изобразил (своё имя) на картине.

Вставляем форму слова «имя», подходящую к падежу и синтаксической роли:

1. Он подписал письмо своим именем — творительный падеж.
2. Сестра своё имя написала в тетради — винительный падеж.
3. Путник назвал своё имя — винительный падеж.
4. Художник изобразил своё имя на картине — винительный падеж.