2. OO₁ — ось цилиндра. Найти объём и площадь боковой поверхности цилиндра. На рисунке: BE = 30, ∠O₁EO = 60° (угол между O₁E и осью OO₁), ∠BCE = 150° — внешний угол; C, O и B лежат на одной прямой.

Используем обозначения рисунка: CB — диаметр основания, поэтому треугольник CEB прямоугольный при E. Угол 150° при C — внешний; внутренний угол треугольника BCE равен \(180^\circ-150^\circ=30^\circ\).

1. В прямоугольном треугольнике CEB сторона BE лежит напротив угла 30°, значит гипотенуза \(CB=2BE=60\). Радиус основания \(r=CB/2=30\).
2. В прямоугольном треугольнике O₁OE имеем \(OE=r=30\), а \(\angle O_1EO=60^\circ\) здесь трактуется как угол между O₁E и осью OO₁, то есть угол при O₁. Тогда \(\tan 60^\circ=OE/OO_1\), откуда \(h=OO_1=30/\sqrt{3}=10\sqrt{3}\).
3. Объём: \(V=\pi r^2h=\pi\cdot30^2\cdot10\sqrt{3}=9000\sqrt{3}\pi\).
4. Площадь боковой поверхности: \(S_{бок}=2\pi rh=2\pi\cdot30\cdot10\sqrt{3}=600\sqrt{3}\pi\).

В записи угла на рисунке его вершина находится у O₁; решение выполнено для угла между O₁E и осью OO₁.

Ответ: \(V=9000\sqrt{3}\pi\), \(S_{бок}=600\sqrt{3}\pi\).